17.1.1-变量与函数华东师大版

17.1变量与函数大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.图17.1.11、某日的气温变化图从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．观察:结论：任给一个时间t的确定值，温度T都有唯一的一个值和它对应2、2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的．观察:结论：任给一个存期x的确定值，年利率y都有唯一的一个值和它对应越大波长λ（m）30050060010001500频率ƒ（kHz）1000600500300200波长λ越大，频率f就_____．３、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：λƒ=300000或ƒ=300000观察:结论：任给一个波长λ的确定值，频率ƒ都有唯一的一个值和它对应越小半径r（cm）11.522.63.2…面积S（cm2）…结论：任给一个半径r的确定值，面积S都有唯一的一个值和它对应圆的面积随着半径的增大而增大。如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S=————请完成下表：可以看出：圆的半径越大，它的面积就越大42r25.276.624.10观察:１、在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．如：T和t,y和x,ƒ和λ,S和r。概括2、在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。如：问题3中的300000和问题4中的230002rsfxy1、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。2、一辆汽车要行驶50千米的路程，写出行驶速度v(千米/小时)与行驶时间t（小时)之间的关系式S=40t时间t小时速度40千米/时路程S千米V=t50变量变量常量时间t小时路程50千米速度V千米/时变量变量常量小试身手1、完成下列问题，并指出其中的变量与常量。①小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为_____________；②圆的周长C与半径r的关系式________________；③n边形的内角和S与边数n的关系式______________;④等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为______________.y=2xrc2s=(n-2)×18002180xy探索研究１、小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为________；y=2x请同学们根据题意填写下表x（本）12345y（元）246810２、圆的周长C与半径r的关系式________________；rc2请同学们根据题意填写下表半径r12345圆周长c2468103、n边形的内角和S与边数n的关系式______________;探索研究s=(n-2)×1800请同学们根据题意填写下表边数n3456﹍内角和s1800540036007200一般地，在一个变化过程中有两个变量例如：x与y，如果对于x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。日常生活和自然界中函数的事例很多：概括：C=2πrs=60tS=(n-2)×1800(1)两个变量；(2)两个变量之间有对应关系．(3)取定x的每一个值，y都有唯一的值与x对应.对于函数y=2x,取定x=3,y都有唯一的值6与x=3对应，此时我们把6叫做当自变量的值为3时的函数值．一般地，如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值。12在数学中,“y是x的函数”这句话常用y=x的代数式来表示,这里x是自变量,y是x的函数.注意：函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊对应关系,必须是“对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应”.例如:式子y=x2,变量x每取一个值,y都有惟一的一个值与之对应,所以说y是x的函数式子y2=x中,尽管y与x之间有一种关系,但由于变量x在x0的范围内每取一个值,y都有两个确定的值与之对应,所以说y不是x的函数.表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法，如观察3中的f=，观察4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．（2）列表法，如观察2中的体重表，观察3中的波长与频率关系表．（3）图象法，观察1中的气温曲线．300000波长l(m)30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200图象法列表法解析法图17.1.12000300rSlf，表示函数关系的方法函数与自变量数量关系自变量与函数对应关系函数随自变量变化规律填空：自变量、函数、函数值：如果有两个变量，对于x的每一个确定的值，y都有确定的值与之对应，称x是，y是x的唯一自变量函数如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．1．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式，其中常量是，变量是，自变量是，是的函数。y=50+12x50，12x，yxyx练习二2．请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：(1)y=3000-300x(2)S=570-95t(3)y=x(4)2rS解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。(2)常量是570，－95；变量是t，s；自变量是t；s是t的函数。(3)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。(4)常量是；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。3．如图是体检时的心电图，其中图上的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，这个问题的变量是，是的函数。x和yyx练习3下列问题中的变量y是不是x的函数？是（1）y=2x（2）y+2x=3是（3）y=不是x（4）y=x2+3z是(x≥0)初步应用巩固知识（5）y=3x2+x+5是•思考题：填表并回答问题：（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答：。（2）y是x的函数吗？为什么？x14916y=+2x2和－28和－818和－1832和－32不是答：不是，因为y的值不是唯一的。讨论下列问题中的变量y是不是x的函数？为什么？不是xy（3）是xy（4）（1）y=x2（2）y2=x是不是初步应用巩固知识函数的关系式是等式通常等式的右边是含有自变量的代数式，左边的一个字母表示函数如何书写函数的关系式呢？例1、根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：1、矩形的周长是18cm,它的长是y，宽是xcm；2、y是x的倒数的4倍。3、y比x的少213教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系，写出含有两个变量的等式3、将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关系式。（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则x个同学共付y元。（2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数m（个）与单价n（元）的关系。（3）一个铜球在0℃的体积为1000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，t℃时球的体积为Vcm3。解:y是x的函数.其关系式为:y=2x解:m是n的函数,其关系式为:nm50解:v是t的函数,其关系式为:v=0.051t+1000练习：思考.下列各曲线中不表示y是x的函数的是()4A填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．解如图,能发现涂黑的格子成一条直线．函数关系式：y＝10－x试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．xy2180yx如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．221xyxxY探索1221xyxy在用解析式表示函数时，自变量的取值往往有一定的范围，这个范围叫做自变量的取值范围．1.在上面所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。xy10(x取1到9的自然数)xy2180)900(x)100(xxxY这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，y与x的函数关系式是：函数关系式：y＝10－x2.在上面问题（1）中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？我们把7叫做这个函数当x=3时的函数值当x=3时，y=7例2、求下列函数中自变量x的取值范围：（1）y＝3x－1（2）y＝2x2＋7（3）y=（4）y＝21x2x（1）（4）解：任意实数（2）任意实数（5）x≠-2x≥2（3）35)5(xy任意实数2.分式：3.二次根式：1.整式：怎样求自变量的取值范围取全体实数取使分母不为0的值取使“被开方数≥0”的值4.三次根式：取全体实数求出下列函数中自变量的取值范围（1）y=2x（2）1nm（3）23xy解:自变量x的取值范围:x为任何实数解:由n-1≥0得n≥1∴自变量n的取值范围n≥1解:由x+2≠0得x≠－2∴自变量x的取值范围x≠－21x32x中自变量x的取值范围是。函数y=31xx215函数y=中自变量x的取值范围是。x≤10例2、求下列函数的自变量x的取值范围。2x11yx12yx25x解（1）∴x可以取全体实数（2）x+2≥05-x≥0∴-2≤x≤511)3(xxy∴x≤1且x≠－1（3）1-x≥0x+1≠0012x2.分式：3.二次根式：1.整式：怎样求自变量的取值范围5.对于混合式：取使每一个式子有意义的值取全体实数取使分母不为0的值取使“被开方数≥0”的值4.三次根式：取全体实数例3、小明用30元钱去购买每件价格为5元的某种商品，求他剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围解:依题意得y=30-5x0≤x≤605300xx对于反映实际问题的函数关系，自变量的取值应使实际问题有意义知识拓展且x是自然数∴x的取值范围是(2)分式：(3)二次根式：(1)整式：怎样求自变量的取值范围(5)对于混合式：取使每一个式子有意义的值取全体实数取使分母不为0的值取使“被开方数≥0”的值(4)三次根式：取全体实数1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有意义例4.在问题3中，当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少?解:设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，y与x之间的函数关系式为221xy211122y当x=1时,∴MA＝1cm时，重叠部分的面积是cm221我们把做这个函数当x=1时的函数值21xxy怎样求函数值？把自变量的值代入计算即可例5、已知函数y=，求54x2（1）当x=1时，函数y的值。（2）当y=3时，自变量x的值。解：（1）把x=1代入函数式，得（2）把y=3代入函数式，得5412y5423x211x=56练习P32练习1，2，344总结函数如果在一个变化过程中,有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,y是x的函数.1.函数的定义2.函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数的解析式.3.求函数解析式的方法2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值小结1.求函数自变量取值范围的