第7章一阶电路响应(电路课件)

18一阶电路王东剑湖北工业大学华中科技大学出版社2本章知识要点：※过渡过程及初始条件※零输入响应※零状态响应※一阶电路的全响应※一阶电路的阶跃响应※一阶电路的冲激响应※RC微分、积分电路湖北工业大学华中科技大学出版社38.1过渡过程及初始条件电路处于稳定状态（称之稳态）时，各支路电流、电压变量都是按周期规律变化，或保持恒定不变的。导致电路稳定状态被破坏的任何突然性变化称为换路。由于换路从一种稳定状态向另外一种稳定状态转变的物理过程，称为过渡过程又称为暂态过程。过渡过程的现象存在于许多物理系统中。湖北工业大学华中科技大学出版社48.1.1动态电路微分方程仅含一个动态元件电容或电感的一阶RC电路和一阶RL电路，都可以用一阶微分方程来描述。分析时，通常将含源的电阻部分、动态元件分别看成一个单口网络，利用戴维宁定理或诺顿定理可以将含源的电阻网络简化，把电路等效为基本的一阶电路形式。图8-1一阶RL电路的等效湖北工业大学华中科技大学出版社5ocLequuu由KVL知(8-1)LeqeqiRudtdiLuLL由元件的VCR(8-2)ocLeqLuiRdtdiL将(8-2)式代入(8-1)式有(8-3)scLLeqiidtdiLG同理，对图8-1（c）电路，由KCL和VCR可得(8-4))0(Li给定初始条件以及0t时的ocusci或通过方程式(8-3)或(8-4)求得0tLi的，就可以湖北工业大学华中科技大学出版社6对一阶RC电路，求解电容端电压的分析过程与上述一阶RL电路类似。cucu可由微分方程或)0(cu在给定初始条件时求得。occcequudtduCR(8-5)scceqciuGdtduC(8-6)湖北工业大学华中科技大学出版社78.1.2初始条件的确定1．换路定律求解描述动态电路的线性常系数非齐次微分方程，除了要给出电路的结构、电路参数和激励外，还必须知道反映动态元件初始状态的初始条件。动态元件的初始值由换路定律规定。ttcditqtq0)()()(0diCtututtccc0)(1)()(0对线性电容元件，在任意时刻关于它的变量之间存在如下关系：湖北工业大学华中科技大学出版社8一般情况下，电路换路的瞬间电容的电流不可能为无穷大，应为一有限值，所以式（8-7）、（8-8）中的积分项为零。据此可得到ci00t0t把换路瞬间作为记时的起始时刻，令可得00)()0()0(dtiqqc（8-7）dtiCuuccc00)(1)0()0(（8-8）)0()0(qq（8-9）在换路前后，电容的电荷和电压均不发生跃变，具有连续性和记忆性。)0(cu0t为时电容的初始条件。)0()0(ccuu（8-10）湖北工业大学华中科技大学出版社9duttttL0)()()(0duLtitittLLL0)(1)()(0换路瞬间若电感的电压为有限值，式（8-11）、（8-12）中的积分项将为零。由此可得到Lu在任意时刻，线性电感元件的磁通链与电压的关系为：duttttL0)()()(0（8-11）duLtitittLLL0)(1)()(0（8-12）)0()0(（8-13）故在换路前后，电感的磁通链和电流均不发生跃变，具有连续性和记忆性。)0()0(LLii（8-14）00t0t令可得湖北工业大学华中科技大学出版社10)0()0(（8-13）)0()0(LLii（8-14）)0()0(qq（8-9）)0()0(ccuu（8-10）小结：换路定律RC电路RL电路从能量的观点出发也能说明换路前后瞬间电容的电压和电感的电流不能发生跃变。湖北工业大学华中科技大学出版社112．初始条件的计算例8.1图8-2（a）所示电路，t=0时换路，S闭合前电路已达稳态，试求开关S闭合后电路的初始值)0(),0(),0(),0(LLcciuiuVuc8.410201020103012)0(333mAiL24.01020103012)0(33解(1)求时的独立初始条件，画等效电路如图8-2（b）所示。0t图8-2（a）例8.1电路图8-2（b）等效电路0t湖北工业大学华中科技大学出版社12由换路定律可得Vuucc8.4)0()0(mAiiLL24.0)0()0(（2）求时的非独立初始条件画等效电路如图8-2（c）所示。由电阻电路的分析方法知0t01024.010308.412)0(33LumAic12.0408.4208.424.0)0(等效电路图8-2（c）0t湖北工业大学华中科技大学出版社13若动态电路换路后无外加电源激励，在动态元件的初始值作用下，电路中会产生响应，使支路变量不为零。这种在外加输入为零，仅由电路的非零初始条件所引起的响应称为零输入响应，其实质就是储能元件释放能量的过程。8.2零输入响应所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始值作用下所产生的电路响应，称为零输入响应。)0(cu8.2.1RC电路的零输入响应湖北工业大学华中科技大学出版社141．零输入响应的求法图8-3（a）所示一阶RC电路，uS是一个直流电压源，换路前开关S1接通，S2断开,电路已达稳态；在t=0时开关S1断开，S2接通。当t≥0时，电路中的状态变量及其他支路变量是按什么规律来变化的呢？00)0()0(UuUucc当t=0-时，图8-3（a）RC零输入响应电路湖北工业大学华中科技大学出版社150RciidtduCiccRuiRR0Rcuu0RudtduCRc0ccudtduRCcu画t≥0时的等效电路如图8-3（b），先求可见求解零输入响应实质上就是求解一阶齐次微分方程。图8-3（b）t≥0等效电路湖北工业大学华中科技大学出版社1601RCpRCp1RCtcAeu式中的常系数A由电路的初始值来确定。0)0(Uuc0UAptcAeu令通解得相应的特征根方程其特征根00teUuRCtc微分方程的解为00teRURudtduCiiRCtccRc00teUuuRCtcR湖北工业大学华中科技大学出版社172．时间常数tceUu0零输入响应的衰减变化取决于电路时间常数τ的大小。图8－4所示曲线为电容电压随时间变化的曲线。SRC图8－4变化曲线cu说明：（1）τ的大小反映了一阶电路过渡过程的进展快慢；（2）经过一个时间常数τ后，响应衰减为原来的36.8％;cu（3）工程一般认为经过的时间，过渡过程即告结束。4~3湖北工业大学华中科技大学出版社188.2.2RL电路的零输入响应RL电路的零输入响应是指无电源激励，即输入信号为零时，由电感元件的初始值作用下所产生的电路响应。)0(Li图8-5（a）所示电路，uS是一个直流电压源，换路前开关S接通，电路已达稳态，在t=0时开关S断开。图8-5(a)RL零输入响应电路010)0(IRUiL0)0()0(IiiLLt=0-时，电感L看作短路，由换路定律，湖北工业大学华中科技大学出版社19t≥0时的等效电路如图8-5（b）所示。图8-5（b）t≥0等效电路0:RLuuKVLRRRiudtdiLuLL0LRii0LLRidtdiL该一阶齐次微分方程的特征根方程为0RLpLRptLRLAei特征根为故微分方程的解为RLteIiIAIitLL,0,)0(000湖北工业大学华中科技大学出版社20例8.2在图8-6（a）所示电路中，t=0时刻换路，开关S由a投向b，在此之前电路已达稳态，求t≥0时电感上的电流和电压。已知LiLuVUHLRR10,1,20021图8-6（a）例8.2电路解：t=0-时，电感L看作短路ARUiL5.02010)0(10AiiLL5.0)0()0(湖北工业大学华中科技大学出版社21图8-6（b）所示为t≥0时的等效电路2012RL图8-6（b）t≥0的等效电路)0(5.0)0(202tAeeiAeittLRLtL01020tVedtdiLutLL湖北工业大学华中科技大学出版社228.3零状态响应零状态响应又称为零初始状态响应，是指在电路的初始状态或为零，仅由初始时刻施加于电路的外加输入作用引起的响应。)0(cu)0(Li8.3.1RC电路的零状态响应0)0(cu图8-7（a)电路，t=0时换路，开关S断开。电路的过渡过程就是电流源对电容元件的充电过程，电容电压从零逐步上升到稳态值。cu图8-7（a)RC零状态响应电路湖北工业大学华中科技大学出版社23图8-7（b）t≥0的等效电路图8-7（b）所示为t≥0时的等效电路。0IiiCRRuicRdtduCicc00tRIudtduRCcc非齐次方程的解///cccuuutcAeu/其中齐次解0//)(RIuucc特解RC为时间常数00tAeRIutc湖北工业大学华中科技大学出版社240)1(,00tVeRIuRIAtc0)0(cuARIuc0)0(将初始条件代入，有ccRuii。,通过VCR可以分别求出电路中的的变化曲线如图8-8所示。图8-8变化曲线cu在整个动态过程中，特解是电容电压的稳态值或稳态分量，是外加激励作用产生的结果，又可称为强制分量。而非齐次方程的齐次解（即通解）的变化规律取决于方程的特征根，与外加激励无关，称为自由变量，它呈指数规律衰减最终为零，所以又称为瞬态分量。湖北工业大学华中科技大学出版社25例8.3图8-9（a）所示电路，已知，求t≥0时的零状态响应。cu,10,5.010RAIFCR1.0,20221RRR01IRUS解：由戴维宁定理将电路等效成图8-9（b），其中ScCUuRidtduCicc53ccudtdu5//ScUu特解tcAeu/齐次解图8-9（a）例8.3电路图8-9（b）等效电路湖北工业大学华中科技大学出版社26SRC3时间常数35tcAeu因此0)0()0(ccuu代入初始值5A可求得常数0)1(55533tVeeuttc则所求响应为湖北工业大学华中科技大学出版社278.3.2RL电路的零状态响应图8-10所示的电路t=0时换路，,开关S断开，恒定直流电压接入电路。讨论RL电路的零状态响应的变化规律。0)0(LiSu00tURidtdiLLL图8-10（a）基本RL电路的零状态响应电路的微分方程为///LLLiii方程的全解tLAei/RUiL0//其中RL是电路的时间常数。湖北工业大学华中科技大学出版社28RUA00)1(0teRUitL图8-10(b)画出了的变化曲线。Li00tAeRUitL则0)0()0(LLii将初始条件代入，可得图8-10(b)iL变化曲线湖北工业大学华中科技大学出版社298.4一阶电路的全响应电路中，由动态元件的初始值和外加输入共同作用下的响应称为全响应。图8-11一阶RC全响应电路图8-11所示RC电路，设在t=0时换路，已知。在t≥0时，该电路既有外加输入直流电源的作用，又有初始状态的作用，求开关S闭合后的。0)0(Uuccu///cccuuu微分方程的通解为ScUu//特解tcAeu/齐次解0UudtduRCcc（8-15）RC时间常数列方程得湖北工业大学华中科技大学出版社30StcUAeu0)0()0(Uuucc考虑初始状态，可求