第六章常微分方程汇总

第六章常微分方程yxfy求已知,)(—不定积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3二阶微分方程6.4用Matlab软件解二阶常系数非齐次微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点处的切线斜率为2x，求这曲线的方程。),(yxM例2质量为m的物体从空中自由下落，若略去空气阻力．求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。解；未知函数s(t)应满足方程mgdtsdm22,即gdtsd22两边积分得再积分一次，得此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始位移为零，得常微分方程偏微分方程1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程.2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.(本章内容)微分方程的基本概念分类例如为二阶微分方程3.代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解.4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.微分方程的基本概念特解通解(不含任意常数)分类5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.6.2一阶微分方程6.2.1可分离变量的微分方程6.2.2一阶线性微分方程6.2.1可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程转化两边积分xxfd)(例3(细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的繁殖率与细菌的数目成正比，若时细菌的数目为，求系统的细菌繁殖规律。两边积分0t)0(x解：设示在时刻细菌数目，依题意有)(txt即(C为任意常数)又因，0)(ttx为已知,故特解为ceCC或0)0(x例4（自然生长模型）表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明解：在t到△t这段时间内种群总数改变量为当时采用可分离变量后，积分得nycerkyttmyttnytytty)()()()(0t)()()()(lim0tymnttyttydtdyt)(tyymnyy,,)0(0,kyrmn其中r0，k0，试求该种群的自然生长规律。由确定常数C，则可得生物总群自然增长规律：00()nrytrkykey0)0(yy此式称为Logistic方程，显然当其曲线图为kryt时，例5（肿瘤生长模型）设是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：0ln,(0)(0)dVVaVVVadtV是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律/0kaVVe)(tV解：分离变量lnlndVadtVVV两边积分lnlndVadtVVVlnlnlnlnVVatC由初始条件，可确定，00VV0lnVkCVa故特解是atkeaVVe即(1)/0atkeaVVe此为贡柏茨方程此为贡柏茨方程图形二、可化为分离变量的某些方程*1.齐次方程形如令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例6.解微分方程.tanxyxydxdy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例7.解微分方程yxyxdxdy解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x11ydyxydxx此为齐次方程，令yux2121duuuxdxu分离变量，再两边积分222112uuCx将u带回得222(2)1Cxxyy2.型方程作变换例8.求方程的通解2)(yxdxdy解：令则得方程通解为将代回得原方程通解6.2.2一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.称为齐次方程;定义3如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。一、一阶线性微分方程0)(ddyxPxy1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(这里仅表示p(x)的一个原函数()dPxx2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy()()dyQxdxPxdxyy改写为两边积分()ln()QxydxPxdxy()()Qxdxuxy令()()Pxdxuxyee令()()uxCxe()()PxdxyCxe（1）下面求C（x），对（1）求导得()()()()()PxdxPxdxyCxePxCxe代入标准方程得()()()PxdxCxeQx齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即CxexQxCxxPd)()(d)(两端积分得1.齐次方程通解为：0)(ddyxPxyxxPeCyd)(２.非齐次方程通解为：)()(ddxQyxPxyxxPxxPedxexQCyd)(d)()(例9用常数变易法求一阶线性方程通解sincosxdyyxedx解：齐次方程通解：cossinxdxxyCeCe用常数变易法，令sin()xyCxesinsin()cos()xxyCxexCxe代入原方程得sinsin()xxCxee即()CxxC故通解为sin()xyxCe例10用通解公式求一阶线性方程的通解21dyyxdxx解：21(),()PxQxxx则通解为21()2xxdxCxxC严格的说，上式仅当时才成立。0x当x0时1lnln()dxxxx112dxdxxxyexedxCln()2ln()xxexedxC21()xxdxCx21()2xxC例11(饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67．2J.此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?解：依题意，进食增加10500/42000=0.25kg基础代谢5040/42000=0.12kg活动消耗67.2w/42000=0.0016wkgtCewwtwtww0016.025.810016.013.0)0016.012.025.0(即例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注，K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。0dxKKxdt由于，故0()(1)KtKxteK0)(0ttx解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输入与输出之差，则例13（细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律解：设为t时刻细菌数目，则()dxKxtAtBdt解得2()[()]kdtkdtktAtBAxteAtBeCCeKK代入则00txx022()()ktBAAtBAxtxeKKKK)(tx二、伯努利(Bernoulli)方程*伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程))0,0(4xyyxyxdxdy例14求方程的通解解：这是伯努力方程，其中则课堂练习题:求的特解解:由标准形式知则通解由得所求特解为:6.3.1可降阶高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程()yfx一、型的微分方程令则()uxy()ufx两端积分得1()()uxfxdxC则1()yfxdxC再积分，得通解12(())yfxdxdxCxC例15求方程的通解xeyxcos2积分一次得22111(cos)sin2xxyexdxCexC再积分一次得2122121(sin)21cos4xxyexCdxCexCxC最后积分得3212)cos41(CdxCxCxeyx3221221sin81CxCxCxex),(yxfy型的微分方程设,)(xPy原方程化为一阶方程设其通解为),(1CxP则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、例16求方程满足初始条件的特解。212xyxy3,100xxyy解：设()PxyPy，则221dPxPdxx原式为分离变量并积分21lnln(1)lnPxC221dPxdxPx即21(1)PCx21(1)PCx用代替，得21(1)yCx积分得212312(1)1()3yCxdxCCxxC代入初始条件0013xxyy和得123,1CC故特解是331yxx三、),(yyfy型的微分方程令),(yPyxPydd则xyyPdddd故方程化为设其通解为),,(1CyP即得分离变量后积分,得原方程的通解例17.求解yCP12)1(得故所求通解为解:xPydd则xyyPddddyPPdd原始可写为两端积分得12lnln)1ln(CyP可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xPy令,)(yPy注意：对于型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解6．3．2二阶线性常系数齐次方程•[定义5]如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：称之为二阶线性齐次方程；称之为二阶线性非齐次方程称之为二阶线性常系数微分方程(a、b、c均为常数)称之为二阶线性常系数齐次微分方程(a、b、c均为常数)[定理1]若函数和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合也是该方程的解。其中Cl、C2是两个任意常数。[定理2]若和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关的特解，则－－－－－－－就是该方程的通解．其中C1和C2是两个任意常数。[定理3]设是二阶线性非齐次方程的一个特解，是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则是二阶线性非齐次方程的通解。定理1、2、3说明：非齐次通解齐次通解非齐次特解齐次特解齐次特解(线性无关)二阶常系数齐次线性微分方程:xrey和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xrecbrar02crbar称②为微分方程①的特征方程,(r为待定常数),①所以令①的解为②其根称为特征根.1.当时,②有两个