2003年全国统一高考理科数学试卷(北京卷)

2003年全国高考北京卷理科数学试卷第1页（共4页）2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（2003▪北京▪理）设集合2{|10}Axx，2{|log0}Bxx，则ABA.{|1}xxB.{|0}xxC.{|1}xxD.{|1xx或1}x2.（2003▪北京▪理）设0.914y，0.4828y，1.531()2y，则A.312yyyB.213yyyC.123yyyD.132yyy3.（2003▪北京▪理）“3cos22”是“512k，kZ”的A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.（2003▪北京▪理）已知，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是A.若m∥n，m，则nB.若m∥，n，则m∥nC.若m，m，则∥D.若m，m，则5.（2003▪北京▪理）极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.（2003▪北京▪理）若zC且|22|1zi，则|22|zi的最小值是A.2B.3C.4D.57.（2003▪北京▪理）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为A.2B.32C.233D.128.（2003▪北京▪理）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种9.（2003▪北京▪理）若数列{}na的通项公式是32(1)(32)2nnnnnna，n1，2，…，则12lim(naa…)naA.1124B.1724C.1924D.252410.（2003▪北京▪理）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10ijijaij第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选，其中i1，2，…，k，且j1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为2003年全国高考北京卷理科数学试卷第2页（共4页）A.1112aa…12122kaaa…2kaB.1121aa…11222kaaa…2kaC.11122122aaaa…12kkaaD.11211222aaaa…12kkaa二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11.（2003▪北京▪理）函数2()lg(1)fxx，21()0||121xxgxxxx，()tan2hxx中，______是偶函数.12.（2003▪北京▪理）已知双曲线方程为221169xy，则以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程为_________.13.（2003▪北京▪理）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.14.（2003▪北京▪理）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________.三、解答题：本大题共6小题，共13+13+15+15+14+14=84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（2003▪北京▪理）已知函数44()cos2sincossinfxxxxx.⑴求()fx的最小正周期；⑵求()fx在区间[0，]2上的最大值和最小值.16.（2003▪北京▪理）已知数列{}na是等差数列，且12a，12312aaa.⑴求数列{}na的通项公式；⑵令()nnnbaxxR，求数列{}nb前n项和的公式.17.（2003▪北京▪理）如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长为3，侧棱1332AA，D是CB延长线上一点，且BDBC.⑴求证：直线1BC∥平面1ABD；⑵求二面角1BADB的大小；⑶求三棱锥11CABB的体积．2003年全国高考北京卷理科数学试卷第3页（共4页）18.（2003▪北京▪理）如图，椭圆的长轴12AA与x轴平行，短轴12BB在y轴上，中心为(0M，)(0)rbr.⑴写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；⑵设直线1ykx与椭圆交于亮点1(Cx，1)y，2(Dx，22)(0)yy，直线2ykx与椭圆交于两点3(Gx，3)y，4(Hx，44)(0)yy.求证：2341121234kxxkxxxxxx；⑶对于⑵中的C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：||||OPOQ.（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）19.（2003▪北京▪理）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且ABACa，2BCb，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．⑴若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？⑵若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？2003年全国高考北京卷理科数学试卷第4页（共4页）20.（2003▪北京▪理）设()yfx是定义在区间[1，1]上的函数，且满足条件：①(1)(1)0ff；②对任意的u、[1v，1]，都有|()()|||fufvuv.⑴证明：对任意的[1x，1]，都有1()1xfxx；⑵证明：对任意的u、[1v，1]，都有|()()|1fufv；⑶在区间[1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数()yfx，且使得当u，[0v，1]2时，|()()|||fufvuv，当u，1[2v，1]时，|()()|||fufvuv.若存在请举一例，若不存在，请说明理由.2003年全国高考北京卷理科数学试卷第5页（共15页）2003年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）（2003•北京）设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2x＞0|}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞1或x＜﹣1}【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式log2x＞0，再求交集．【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．2．（5分）（2003•北京）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【分析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．【解答】解：，，．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．故选D．【点评】本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．3．（5分）（2003•北京）“”是“”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由，得，即，所以，是“”的必要不充分条件．故“”是“”的必要不充分条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的2003年全国高考北京卷理科数学试卷第6页（共15页）方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．4．（5分）（2003•北京）已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【分析】根据线面平行性质定理，得A项不正确，根据线面垂直的性质与判定，可得B项正确；根据面面平行的性质与线面垂直的性质，可得C项正确；根据线面垂直的定义，可得D项正确．由此可得本题答案．【解答】解：对于A，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n但条件中缺少“m⊂β”，故不一定有m∥n成立，故A不正确；对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故B正确；对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故C正确；对于D，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直故若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故D正确因此，不正确的命题只有A故选：A【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要找出其中的假命题．着重考查了空间直线与平面平行与垂直、平面与平面平行与垂直等位置关系的认识与理解，属于中档题．5．（5分）（2003•北京）极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论【解答】解：极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1可化为：ρ2（cos2θ﹣sin2θ）﹣2ρcosθ=1，∴x2﹣y2﹣2x=1，即（x﹣1）2﹣y2=2，它表示中心在（1，0）的双曲线．∴极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1表示的曲线是双曲线．故选D．【点评】研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究．6．（5分）（2003•北京）若z∈C，且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据式子|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差．【解答】解：由题意知，|Z+2﹣2i|=1表示：复平面上的点到（﹣2，2）的距离为12003年全国高考北京卷理科数学试卷第7页（共15页）的圆，即以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|表示：圆上的点到（2，2）的距离的最小值，即圆心（﹣2，2）到（2，2）的距离减去半径1，则|2﹣（﹣2）|﹣1=3故选B．【点评】本题考查复数代数形式有关式子的几何意义，关键是把式子转化为几何意义，考查了转化思想．7．（5分）（2003•北京）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2πB．C．D．【分析】设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l=2（R﹣r），高h=（R﹣r），由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．【解答】解：∵圆台的母线与底面成60°角，∴设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l=2（R﹣r）因此，圆台的侧面积为S侧=π（r+R）l=2π（R2﹣r2）又∵圆台的高h=（R﹣r）∴圆台的轴截面面积为S轴=（2r+2R）h=（R2﹣r2）由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2π（R2﹣r2）：（R2﹣r2）=故选：C【点评】本题给出母线与底面成60°角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值．着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题．8．（5分）（2003•北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共