抛物线与直线交点问题经典讲义教案

抛物线与直线交点问题教学目标：1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。3、通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。讲授方法：讲授与讨论相结合教学过程：一、抛物线与x轴的交点问题例1：已知：抛物线322xxy，求抛物线与x轴的交点坐标。练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2mxmxy（1）求证：抛物线与x轴有交点。（2）如果抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围。2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2yxbxc，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线ykxb（k≠0）与抛物线交于点A（32，m）和B（4，n），求直线的解析式.方法总结：1、抛物线与x轴相交：抛物线cbxaxy2的图象与x轴相交）（002acbxax2.抛物线与x轴的交点的个数（1）有两个交点△0抛物线与x轴相交（2）有一个交点△=0抛物线与x轴相切（3）没有交点△0抛物线与x轴相离二、抛物线与平行于x轴的直线的交点例2：求抛物线322xxy与y=1的交点坐标练习：已知：抛物线cxxy22（1）如果抛物线与y=3有两个交点，求c的取值范围。（2）如果对于任意x，总有y3，求c的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x轴的直线相交抛物线cbxaxy2的图象与平行于x轴的直线相交mycbxaxy2新的一元二次方程mcbxax22.抛物线与平行于x轴的直线的交点的个数（1）有两个交点△0抛物线与直线相交（2）有一个交点△=0抛物线与直线相切（3）没有交点△0抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221xy与直线y=x+m只有一个交点，求m的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2Axxy过点A作直线l与抛物线有且只有一个交点，并求直线l的解析式方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数GlGlGlcbxaxybkxyGacbxaxylkbkxy22)0()0(例4：已知：抛物线cxxy22（1）当c=-3时，求出抛物线与x轴的交点坐标（2）当-2x1时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析练习：1、抛物线222-mmxxy与直线y=2x交点的横坐标均为整数，且m2,求满足要求的m的整数值2、已知：抛物线14-2xxy，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m的取值范围3、已知二次函数错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。时的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数错误!未找到引用源。的图象与二次函数的图象都经过点错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的值；（3）设二次函数的图象与错误!未找到引用源。轴交于点错误!未找到引用源。（点错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。的左侧），将二次函数的图象在点错误!未找到引用源。间的部分（含点错误!未找到引用源。和点错误!未找到引用源。）向左平移错误!未找到引用源。个单位后得到的图象记为错误!未找到引用源。，同时将（2）中得到的直线错误!未找到引用源。向上平移错误!未找到引用源。个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象错误!未找到引用源。有公共点时，错误!未找到引用源。的取值范围。4、已知关于x的一元二次方程01422kxx有实数根，且k为正整数（1）求k的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，关于x的二次函数1422kxxy的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)21kbbxy（与此图象有两个公共点时，b的取值范围课堂小结：1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，没有交点有一个交点，有两个交点，一元二次方程根的个数方程组相交0002、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想1、（2013门头沟一模23）已知关于x的一元二次方程21(2)2602xmxm．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当3m时，关于x的二次函数21(2)262yxmxm的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线13yxb与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．xy11O2、（2013丰台一模23）二次函数2yxbxc的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．（4）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线yxn与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．3、（2013昌平一模23）已知抛物线22yxkxk．（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P（m，n），n0，OP=103，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线yxb与图形M有四个交点时，求b的取值范围.-1-111xOy4、（2013怀柔一模23）已知关于x的方程03)13(2xkkx．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2xkkxy的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.5、（2013燕山一模23）己知二次函数)12(221ttxxy(t1)的图象为抛物线1C．⑴求证：无论t取何值，抛物线1C与x轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，将抛物线1C作适当的平移，得抛物线2C：22)(txy，平移后A、B的对应点分别为D(m，n)，E(m＋2，n)，求n的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同2C在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线bxy21(b3)与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．Oxy32-1121-16、（2013海淀一模23）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22ymxmxn与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)．（1）求B点坐标；（2）直线y=12x+4m+n经过点B.①求直线和抛物线的解析式；②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为(0,)Dd．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线y=12x+4m+n只有两个公共点时，d的取值范围是．7、（2013顺义二模23）已知抛物线232yxmx．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若m为整数，当关于x的方程2320xmx的两个有理数根都在1与43之间（不包括-1、43）时，求m的值．（3）在(2）的条件下，将抛物线232yxmx在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是．1xyO3、（2012海淀二模23）已知抛物线2(1)(2)1ymxmx与x轴交于A、B两点．（1）求m的取值范围；（2）若m1,且点A在点B的左侧，OA:OB=1:3,试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l//x轴,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.请你结合新图象回答:当直线13yxb与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y07时,求b的取值范围.-1-2-3-4-5881234567-4-3-2-17654321Oxy8（2012中考数学23）已知二次函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。时的函数值相等。（5）求二次函数的解析式；（6）若一次函数错误!未找到引用源。的图象与二次函数的图象都经过点错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的值；（7）设二次函数的图象与错误!未找到引用源。轴交于点错误!未找到引用源。（点错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。的左侧），将二次函数的图象在点错误!未找到引用源。间的部分（含点错误!未找到引用源。和点错误!未找到引用源。）向左平移错误!未找到引用源。个单位后得到的图象记为错误!未找到引用源。，同时将（2）中得到的直线错误!未找到引用源。向上平移错误!未找到引用源。个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象错误!未找到引用源。有公共点时，错误!未找到引用源。的取值范围。9、（2012东城二模23）．已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．10、（2012丰台一模23）．已知：关于x的一元二次方程：22240xmxm.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224yxmxm与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线y=xb(b0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围.11、（2014东城一模23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0（m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范