高考文科数学专题演练十一(极坐标与参数方程)

1高考文科数学专题演练十一（极坐标与参数方程）1．(2016·武昌调研)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解析(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得x＝2x1，y＝3y1解x1＝x2，y1＝y3.由x12＋y12＝1，得(x2)2＋(y3)2＝1.即曲线Γ的方程为x24＋y29＝1.故Γ的参数方程为x＝2costy＝3sint(t为参数)．(5分)(2)由x24＋y29＝1，3x＋2y－6＝0解得x＝2y＝0或x＝0，y＝3.不妨设P1(2，0)，P2(0，3)，则线段P1P2的中点坐标为(1，32)，所求直线的斜率k＝23.于是所求直线方程为y－32＝23(x－1)，即4x－6y＋5＝0.化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0.(10分)2．(2016·长沙调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－22ρcos(θ＋π4)－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最小，求直线l的直角坐标方程；(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．解析(1)ρ2－22ρcos(θ＋π4)－2＝0，即ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0，将x＝ρcosθy＝ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，(3分)圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，即kl·kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.(6分)2(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设x＝1＋2cosφy＝－1＋2sinφ(φ为参数)，则x＋y＝2sinφ＋2cosφ＝22sin(φ＋π4)，当sin(φ＋π4)＝1时，x＋y取得最大值22.(10分)3．(2016·山西协作体)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为(－3，－32)，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A、B两点．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．解析(1)由ρ＝5⇒ρ2＝25，得x2＋y2＝25，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.(4分)(2)设直线l的参数方程为x＝－3＋tcosαy＝－32＋tsinα(t为参数)，①将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，得4t2－12(2cosα＋sinα)t－55＝0，(6分)∴Δ＝16[9(2cosα＋sinα)2＋55]0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1、t2，∴|AB|＝|t1－t2|＝9（2cosα＋sinα）2＋55＝8，化简有3cos2α＋4sinαcosα＝0，解得cosα＝0或tanα＝－34，从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.(10分)4．(2016·唐山期末)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.解析(1)由题意可得C2：x22＋y2＝1，l：x＝1＋32ty＝12t(t为参数)．(4分)(2)将x＝1＋32ty＝12t代入x22＋y2＝1，整理得5t2＋43t－4＝0.3设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－435，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝3，故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋3＝35.(10分)5．(2016·东北四市联考)已知直线l的参数方程为x＝m＋22ty＝22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．解析(1)曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，(1分)将左焦点F(－22，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－22，(2分)直线AB的参数方程是x＝－22＋22ty＝22t(t为参数)，代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，(3分)所以|FA|·|FB|＝2.(4分)(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(23cosα，2sinα)，(－23cosα，2sinα)，(23cosα，－2sinα)，(－23cosα，－2sinα)(0απ2)，(6分)所以椭圆C的内接矩形的周长为83cosα＋8sinα＝16sin(α＋π3)，(8分)当α＋π3＝π2，即α＝π6时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.(10分)6．(2016·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝acosθy＝3sinθ(θ为参数，a0)．(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；4(2)当a＝3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．解析(1)曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t的普通方程为y＝3－2x.(1分)曲线C1与x轴的交点为(32，0)．(2分)曲线C2：x＝acosθ，y＝3sinθ的普通方程为x2a2＋y29＝1.(3分)曲线C2与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)．(4分)由a0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a＝32.(5分)(2)当a＝3时，曲线C2：x＝3cosθ，y＝3sinθ为圆x2＋y2＝9.(6分)圆心到直线y＝3－2x的距离d＝|3|22＋12＝355.(8分)所以A，B两点的距离|AB|＝2r2－d2＝29－（355）2＝1255.(10分)7．(2016·宜春、新余联考)已知直线l：x＝1＋12ty＝32t(t为参数)，曲线C1：x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解析(1)l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程y＝3（x－1），x2＋y2＝1解得l与C1的交点为A(1，0)，B(12，－32)，则|AB|＝1.(5分)(2)C2的参数方程为x＝12cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标是(12cosθ，32sinθ)，5从而点P到直线l的距离是d＝|32cosθ－32sinθ－3|2＝34|2sin(θ－π4)＋2|，由此当sin(θ－π4)＝－1时，d取得最小值，且最小值为64(2－1)．(10分)8．(2016·石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝22ty＝3＋22t(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程ρ＝4sinθ－2cosθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．解析(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，(2分)∵ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，(3分)∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(5分)(2)将直线l的参数方程x＝22ty＝3＋22t(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋22t－3＝0，(7分)∴t1t2＝－3，(9分)∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.(10分)9．(2016·湖北七校)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝sinα＋cosαy＝1＋sin2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2，曲线C2的极坐标方程为ρ＝22acos(θ－3π4)(a0)．(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ2π)；(2)若直线l与C2相切，求a的值．解析(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－2，2]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，联立y＝x2，x＋y＝2解得x＝1，y＝1或x＝－2，y＝4(舍去)，故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(2，π4)．(5分)(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a0)．6由直线l与C2相切，得|－a＋a－2|2＝2a，故a＝1.(10分)10．(2016·山西四校)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2(k为实数)．(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的斜率．解析(1)由曲线C1的参数方程x＝－1＋cosα，y＝sinα可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.(1分)由ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.(3分)因为圆心(－1，0)到直线l的距离d＝11＋k2≤1，所以直线与圆相交或相切，(5分)当k＝0时，直线l与曲线C1相切；当k≠0时，直线l与曲线C1相交．(6分)(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，故圆心到直线l的距离d＝11＋k2＝1－（22）2＝22，(8分)解得k＝±1，所以直线l的斜率为±1.(10分)11．(2016·衡水调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝34sin（π6－θ），θ∈[0，2π]．(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．解析(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0可得，x2＋y2－4x＋3＝0.∴(x－2)2＋y2＝1.(2分)令x－2＝cosα，y＝sinα.∴C1的一个参数方程为x＝2＋cosαy＝sinα(α为参数，α∈R)．(4分)(2)C2：4ρ(sinπ6cosθ－cosπ6sinθ)＝3，∴4(12x－32y)＝3，即2x－23y－3＝0.(6分)7∵直线2x－23y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d＝14，(8分)∴|AB|＝2×1－（14）2＝2×154＝152.(10分)12．(2016·福州五校联考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝cosαy＝sin2α(α为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos(θ－π4)＝－22，曲线C3：ρ＝2sinθ.(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．解析(1)曲线C1：x＝co