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SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity上次课内容:一、紧束缚方法晶体中原子间距较大,每个原子的势场对电子有较强的束缚作用,这样,每个原子附近电子的行为都同孤立原子中电子的行为相似,因此,可以以孤立原子的状态作为零级近似,其它原子所产生的势场作为微扰,这种近似方法称为紧束缚近似法。只考虑最近邻的作用时的E(k)为..()(0)()mikRimnnEkJJRe其中2(0)(,0)|()|iJVrrd()*()(,)()mimimJRrVrRrRdSolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity原子能级与能带的对应1、越低的能带越窄,越高的能带越宽。2、内层电子,能带宽度较小,能级与能带之间一一对应;外层电子,能带较宽能级与能带之间的对应比较复杂。3、复式格子,原胞中的各原子之间先形成分子轨道,再以分子轨道为基组成布洛赫和,而认为能带与分子轨道之间有相互对应关系。SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity瓦尼尔函数1、定义:在紧束缚近似中,能带电子的波函数可以写成原子波函数的布洛赫和对于任何能带,布洛赫函数都可以写成类似的形式其中Wn(r-Rn)称为瓦尼尔函数(Wannierfunction)。)(1)(niinikneNRrrRk)(1)(nninnkWeNnRrrRknkiknnneNWRkRr1)(),(1)(rkRrkueNnikSolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity2、瓦尼尔函数的性质(1)局域性质(定域性)由于u(k,r)=u(k,r-Rn),因此Wn(r-Rn)是以Rn为中心的定域函数。(2)瓦尼尔函数之间是完全正交的。'')()(*mmmnmndWWrRrRrSolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity二、晶体能带的对称性En(k)=En(αk)En(k)=En(-k)En(k)=En(k+Gn)SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity§6-7能态密度和费米面(energystatedensityandFermisurface)一、能态密度函数(functionofenergystatedensity)二、费米面(Fermisurface)本节思路:用定义模式密度的方法引入能态密度,具体给出几个模型的能态密度;在此基础上给出费米面的定义以及费米能、费米动量、费米速度等概念。SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity§6-7能态密度和费密面一、能态密度函数1、能态密度函数的定义——固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带——能量在E~E+E之间能态数目Z能态密度函数0()limEZNEEESolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity在k空间,根据E(k)=Constant构成的面为等能面3)2(VdSdkVZ3)2(由E和E+E围成的体积为V,状态在k空间是均匀分布的——动量标度下的能态密度E~E+E之间的能态数目两个等能面间垂直距离状态密度dkSolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity能态密度3()2(2)kVdSNEEEdSVENk3)2()(考虑到电子的自旋,能态密度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity1)自由电子的能态密度电子的能量k空间,等能面是半径的球面2、几种具体模型中的能态密度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity在球面上能态密度24dSk3/22222()()(2)VmNEESolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity2)近自由电子的能态密度晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近等能面的变化——二维正方格子第一布里渊区的等能面SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity第一布里渊区的等能面——接近布里渊区的A点,能量受到周期性势场的微扰能量下降,等能面向边界凸现——在A点到C点之间等能面不再是完整的闭合面分割在各个顶点附近的曲面SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity能态密度的变化——k接近A点,等能面向边界凸现两个等能面间的体积不断增大,能态密度增大——在A点到C点之间,等能面发生残缺达到C点时等能面缩成一个点,能态密度减小为零SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity第二布里渊区能态密度——能量E越过第一布里渊区边界A点从B点开始能态密度由零迅速增大能带不重叠SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity第二布里渊区能态密度——能量E越过第一布里渊区边界A点从B点开始能态密度由零迅速增大能带重叠SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity3)紧束缚模型的电子能态密度——简单立方格子的s带——等能面为球面——k=0附近)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxs)(2)(222*2minzyxkkkmEkE——随着E的增大,等能面与近自由电子的情况类似SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity32221()8(sinsinsin)xyzVdSNEaJkakaka等能面能态密度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity出现微商不连续的奇点——等能面与布里渊区相交带底和X点SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity出现微商不连续的奇点——等能面与布里渊区相交SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity的等能面的等能面SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity3、范霍夫奇点(vanHovesingularity)在En(k)对k的梯度为零的地方,N(E)应显示出某种特异性。称的点为范霍夫奇点,或临界点。如极大值、极小值、以及鞍点等。这些点都出现在布里渊区的高对称点上。比如简立方晶格,紧束缚近似下的s带。0)(kEk)]0,0,0([k点是极小,)],,([aaakR点是极大布里渊区侧面中心X点)]0,0,([ak就是一个鞍点。SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity二、费米面(Fermisurface)1、费米面:费米面是指绝对零度时,k空间电子占据态与未占据态之间的分界面.电子填充量子态的形式:按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N(电子数)个量子态。Kittel:TheFermisurfaceisthesurfaceofconstantenergyinkspace.TheFermisurfaceseparatestheunfilledorbitalsfromthefilledorbitals,atabsolutezero.F若把电子看成自由电子mkkE2)(22——电子填充k空间半径为kF的球——球内的状态数SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity3/13/1)()83(2VNkF3/1)83(2nkF——球内的状态数球的半径电子密度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity费米波矢费米动量费米速度费米温度费米能量费米球半径费米动量费米速度费米温度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity——自由电子球半径——电子密度——费米半径——费米速度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversityFE1.5~15eVeV——费米半径——费米能量SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity2、电子填充能带的形式电子填充能带的形式有两种类型:(1)电子恰好填满最低的一系列能带,再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valenceband),最低的空带成为导带(conductionband),价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(bandgap)。(2)除去完全被电子充满的一系列能带外,还有只是部分地被电子填充的能带,部分被电子填充的能带被称为导带(conductionband).这时,电子所占据的最高能级即为费米能级,它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中,k空间都有一个占有电子与不占有电子的分界面,所有这些表面的集合就是费米面。这种情况对应于绝缘体和半导体。带隙宽的(比如约10eV)为绝缘体,带隙窄(比如约1eV)的为半导体。SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity——晶体中的电子满带——电子占据了一个能带中所有的状态空带——没有任何电子占据(填充)的能带导带——一个能带中所有的状态没有被电子占满即不满带,或说最下面的一个空带价带——导带以下的第一个满带禁带——两个能带之间不允许存在的能级宽度SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity——周期性势场的影响使得电子的能级形成一系列的准连续的能带——N个电子填充这些能带中最低的N个状态半导体和绝缘体——电子刚好填满最低的一系列能带,形成满带导带中没有电子——半导体带隙宽度较小~1eV——绝缘体带隙宽度较宽~10eVSolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity金属——电子除了填满一系列的能带形成满带还有部分电子填充其它能带形成导带——电子填充的最高能级为费密能级位于一个或几个能带范围内——在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域的分界面——面的集合称为费密面SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity金属___半导体___绝缘体的能带SolidStatePhysicsPhysicsDepartment,NorthwestUniversity碱金属——体心立方格子,一个原胞有1个原子n=2的能级——原子的量子态数为8,电子填充数为8个——晶体中相应的能带2s___1个、2p___3个,共4个能带——N个原子构成的晶体各满层电子能级相应分成2N个量子态的能带内层电子刚好填满了相应的能带——每个能带所容许的
本文标题:6-7费米面
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