高等代数ppt

1“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1、概念的引入S=第三节极限一、数列的极限的概念23R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS.262,1r,sinr23A)1n(2)1n(n4截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX21115定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n2、数列的定义;,)1(,,1,1,11n})1{(1n6数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3数列的几何意义.子列的概念:在数列}{nx中取出的,并按原有顺序排列的一列数:,,,,21nknnxxx,称为数列}{nx的子数列(子序列).}333{重根号n7n=19n=32n=42n=50.)1(11nxnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn3、数列的极限8问题:1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它..1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn91nxnnn11)1(1随着n的增加，1/n会越来越小。我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度1)1(11nn,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,1000时只要n,100011nx有,10001给定,1000011nx有,10000时只要n,100001给定10,0任意给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。Nn确保1nx引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。11定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.;的无限接近与刻划了不等式axaxnn.有关与任意给定的正数N注:12x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使13数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0,1nx要,1n只要],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即14例2.156lim22nnnn证明证1nx51156222nnnnnn2,0],2[N取,时当Nn.156lim22nnnn即15622nnn就有注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).15例3.0,1limaann其中证明证,0任给,1na要使,1,1nnaa只要],)1ln(ln[1aN取,},,max{21时则当NnNNN,1na就有.1limnna,1a若,)1ln(ln:an即,1,1nnaa只要],)1ln(ln[2aN取,1a若,)1ln(ln:an即16例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,0.limaxnn,limaxnn,aaxNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxnaa171.有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,称数列nx有界;否则,称为无界.例如,1nnxn数列nn2y数列在数轴上,有界数列的点nx都落在闭区间[-M,M]上.有界；无界。二、收敛数列的性质数列xn有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…)。数列xn有下界,即存在m,使xn≥m(n=1,2,…)。18定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx有界性是数列收敛的必要条件.192.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.20发散数列判别法:1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.例:).(2ln,2,coslnkkknnnan取.)1(是发散的证明数列nnx证.)1(),(1,1),(1,1121222发散数列nnkkkkxkxxkxx21x1x2x3x1nxnx1.单调有界准则（P26）满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列定理3单调有界数列必有极限.几何解释:AM三、数列收敛判别准则22例1：设,101xnnxx61(n=1,2,…)，证由101x及416612xx知21xx设对某正整数k有,1kkxx则有21166kkkkxxxx故由归纳法，对一切正整数n，都有1nnxx即nx为单调减少数列，且),2,1(,0nxn试证数列极限存在，并求此极限。nx解得.3limnnx，存在为axnnlim所以0aaa6有23例2.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;有上界nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx24数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往用单调有界准则。1)有界性的证明一般有如下几种方法：•根据已知条件推断出界；•通过观察找出界，并用归纳法证明；•先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明2)单调性的证明一般有如下几种方法：•用观察法.如：单增情况）。•根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归纳法证明.1011nnnnaaaa或注意252.夹逼准则（P24）定理4如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.证,,azaynn使得即,0,0,0:21NN,1ayNnn时恒有当},,max{21NNN取恒有时当,Nn,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,,azxyannn,成立即axn.limaxnn26例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理.1)12111(lim222nnnnn27例2：求证证：1)2642)12(531nn（12642)12(531nnnnnnnn212642)12(531nnn21)2642)12(531（又而121lim21limnnnnnn∴得证。12642)12(531limnnnn28例3：求nnnnnn5432lim解：545545432nnnnnnnn55432limnnnnnn555432nnnnnnn由夹挤定理291)1(212122nnnnnnnnnn2222211nnnnn2222211＞＜nnnnnnn22)1(221nnnnnlim1)1(2lim221)1(22nnnn)2211(lim222nnnnnn求21)2211(lim222nnnnnn夹挤定理30四、数列极限的四则运算法则bbaannnnlim,lim定理5若,则;limlim][limnnnnnnnbaba（k为常数）;limlimlimnnnnnnnbaba;limlimnnnnakak,0lim时当bbnn.limlimlimbababannnnnnn注:以上法则仅适合有限项数列的极限运算.31例题211lim)1(lim.41ln/sin1ln/cos1limsinlncoslnlim.3212)1(lim]21[lim.24!sinlim2lim3lim)21(lim1lim]!sin23)21(1[lim.12222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn32数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性；小结两个准则夹挤准则;单调有界准则.33思考指出下列证明1limnnn中的错误。证明要使,1nn只要使)1ln(ln1nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1nn得,0取1)1ln(2lnN当时，必有成立Nn10nn1limnnn34思考题解答1nn)1ln(ln1nn~（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1nn没有采用“适当放大”n的值,,)1ln(lnnn本要求反而缩小为)1ln(2ln思考:?)1ln(1,)1ln(,)1ln(ln2Nnnnn