n维Euclid空间中的点集的初步知识

目录上页下页返回结束大家都在嘲笑俄罗斯，但我知道俄罗斯将来一定会发达，因为那里的人2天没吃饭了饿着肚子还排队，而我们有2个人也要挤的不可开交。-----浙江大学教授郑强第五章多元函数微分学及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同目录上页下页返回结束第一节n维Euclid空间中的点集的初步知识第八章1.2、中的点列的极限nR1.1、n维Euclid空间nR1.3、中的开集与闭集nR1.4、中的紧集与区域nR目录上页下页返回结束1.1、n维Euclid空间nR规定：加法数乘成为一个n维实向量空间。若定义内积成为一个n维Euclid空间。目录上页下页返回结束中的长度：1.2、中的点列的极限nR定义1.1设是中的一个点列，其中又设是中的一固定点，若当时，即使得则称点列的极限存在，且称为它的极限，记作目录上页下页返回结束.a这时也称点列收敛于定理1.1则,nRa点设点列都有定理1.2设是中的收敛点列，则(1)点列的极限唯一；(2)是有界点列，(3)若则目录上页下页返回结束(4)若收敛于，则它的任一子列也收敛于定理1.3中的有界点列必有收敛子列.(中的点列的收敛子列的极限也称为的极限点）设是中的点列，若使得则称是中的基本点列或Cauchy点列.定理1.4中点列收敛于中的点是中的Cauchy点列.1.3、中的开集与闭集nR目录上页下页返回结束定义1.2则称为设是中的一个点集，若存在中的点列使得的聚点.的所有聚点构成的集合称为的导集.记作集合称为的闭包.若但则称为的孤立点.若则称为闭集.注：(1)集合的聚点一定属于吗？(2)什么样的集合对极限运算封闭？定义1.3设称点集称为以为中心、为半径的开球或邻域，目录上页下页返回结束为点的去心邻域.a注：收敛于可以描述为：a点列使得定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点证：存在中的点列且使得即的任意去心邻域包含中的点.a当且仅当目录上页下页返回结束于是由取且于是注：若则为闭集。单点集和有限集都是闭集。定义1.4设的内点.则称是集(1)若存在使由的所有内点构成的集合称为的内部，记作(2)若存在使则称是集目录上页下页返回结束的外点.由的所有外点构成的集合称为的外部，记作(3)若对任何也含有不是中的点，由的记作中既含有中的点，则称是集的边界点.所有边界点构成的集合称为的边界，注：且三者不交。定义1.5设若即中的点全是的内点，则称为开集。目录上页下页返回结束对于中的任一点集必有特别的，开球与它的边界之并称为闭球。例1.2目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定理1.6是开集是闭集.注：中的开区间中的闭区间注：一个点集是不是“非开即闭？”定理1.7在n维Euclid空间中,开集有下列性质：(1)空集φ于空间是开集；(2)任意多个开集的并是开集；(3)有限多个开集的交是开集.目录上页下页返回结束利用对偶原理：(1)空集φ于空间是闭集；(2)任意多个闭集的交是闭集；(3)有限多个闭集的并是开集.1.4、中的紧集与区域nR设是中的一个点集，若存在一个常数使得对于所有的都有则称是有界集。否则称为无界集.定义1.6设是中的一个点集，若是有界闭集，则称为紧集。定义1.7设是中的一个点集，若中的任意目录上页下页返回结束连通的开集称为开区域.两点都能用完全属于的有限个线段连接起来，则称是连通集.开区域与它的边界的并称为闭区域.设是中的一个点集，若连接中的任意两点的线段都属于，即若则称是中的凸集.凸集都是连通的.则