(最新)模糊数学方法

模糊数学方法一．模糊数学的基本概念二．模糊关系与模糊矩阵三．模糊聚类分析方法四．模糊模式识别方法五．模糊综合评判方法一.模糊数学的基本概念（1）模糊集与隶属函数的概念论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。Def.设U为一论域，如果给定了一个映射:则该映射确定了一个模糊集合A，其映射称为模糊集A的隶属函数，称为对模糊集A的隶属度，使的点称为模糊集A的过渡点，即是模糊性最大的点。:[0,1],()[0,1]AAUxxA()0.5Ax()Axxx对一个确定的论域U可以有多个不同的模糊集合。模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体注：是一个普通集合.(){|:[0,1]}AFUAU)(UF（2）模糊集的表示方法：12{,}nUxxx()AFU对于有限论域，设（1）Zadeh表示法：12112()()()()nAiAnAAinxxxxAxxxx()Aiixx()Aix这里“”不是分数，“＋”也不表示求和，只是符号，它表示点对模糊集A的隶属度是（3）向量表示法：（2）序偶表示法：1122{(,()),()),()}AAnAnAxxxxxx，(，，(）12(()()())AAAnAxxx，，，ix如果U为无限论域，设()AFU()AUxAx()Axx这里“”不是积分号，“”也不是分数。,则（3）模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。设模糊集，其隶属函数为.（1）若对任意，有，则称A包含B，记（2）若且，则称A与B相等，记为B＝A。设模糊集，其隶属函数为则其相应的并、交、补及隶属函数为,()ABFU(),()ABxxxU()()BAxxABBA,()ABFU(),()ABxxBA并：交：补：其中“”和“”分别表示取大算子和取小算子，并且并和交运算可以直接推广到任意有限及无限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算规律。()()()max((),())ABABABxxxxx()()()min((),())ABABABxxxxx()1()cAAxx隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。1.模糊统计方法模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.模糊统计实验包含下面四个基本要素（1）论域U；（2）U中的一个固定元素；（3）U中的一个随机变动的集合（普通集）；（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊集A，对的变动起着制约作用，其中，或，致使对A的隶属关系是不确定的。0x*A*A*0xA*0xA0x*A假设作n次模糊统计试验，可以算出对A的隶属频率＝事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其稳定值称为对A的隶属度，即2.指派方法指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们*0xAn的次数0x0x*00()limAnxAxn的次数的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。3.其它方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很多的，主要根据问题的实际意义,具体问题具体分析.二.模糊关系与模糊矩阵模糊关系：设U，V为论域，则称乘积空间上的一个模糊子集为从U到V的模糊关系。如果的隶属函数为，则称隶属度为关于模糊关系的相关程度。注：由于模糊关系就是乘积空间上的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。UV~RFUV（）~R~~0,1,(,)(,)RRUVxyxy：~(,)Rxy(,)xyUV~R模糊矩阵：设矩阵，且则称R为模糊矩阵。比较特殊的情况有下边两种：(1)如果，则称R为布尔（Bool）矩阵。(2)当m=1,或n=1时，则相应的模糊矩阵为或，分别称为模糊行向量和模糊列向量。()ijmnRr[0,1](1,2;1,2)ijrimjn{0,1}(1,2;1,2)ijrimjn12(,,,)nRrrr12(,,,)TmRrrrDef.若模糊关系,且满足（1）自反性：（2）对称性：（3）传递性：（或）则称是U上的一个模糊等价关系，其隶属度表示的相关程度。注：当为有限论域时，U上的模糊等价关系可表示为阶的模糊等价矩阵。~~(,)(,)RRxyyx~~~RRR。~R~(,)Rxy(,)xy12{,,,}nUxxx()ijnnRr)(~UUFR1),(~xxR),()),(),((),(~~~~~yxyzzxyxRRRUzRRnn模糊等价矩阵：设论域为，为单位矩阵，如果模糊矩阵满足：（1）自反性：；（2）对称性：；（3）传递性：（或）则称R为模糊等价矩阵。注：对于满足自反性和对称性的模糊关系与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵。12{,,,}nUxxx()ijnnRr(1,1,2,,)iiIRin或r1();,1,2,,nikkjijkrrrijn~R),,2,1,;(njirrRRjiijT或RRRI截矩阵：设为模糊矩阵，对任意的（1）如果令则称为R的截矩阵.（2）如果令则称为R的强截矩阵.注：对任意的，截矩阵都是布尔矩阵.()ijmnRr0,1(())ijmnRr(())ijmnRr0,11,,1,2,,;(),0,1,2,,ijijijrimrrjn1,,1,2,,;(),0,1,2,,ijijijrimrrjn模糊传递矩阵：设R是阶的模糊矩阵，如果满足:则称R为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传递闭包，记为Th.对于任意的模糊矩阵，则特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数，使得，对任意自然数都有此时一定为模糊等价矩阵。nn()tR()ijnnRr()kkn()ktRRlkRR()tR),,2,1,;)((12njirrrRRRRijkjiknk或klnknnkijnkkrRRt1)(1)()(三.模糊聚类分析方法对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析。第一步.数据标准化（1）获取数据:设论域U＝为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即于是得到问题的原始数据矩阵为（2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：12{,,,}nxxx()ijnmAx),,2,1(,,,21nixxxximiii(i)平移——标准差变换.当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响，即令其中(ii)平移——极差变换.如果经过平移—标准差变换后还有某些，则还需对其进行平移—极差变换，即令'(1,2;1,2)jijijjxxxinjms1221111,[()](1,2,,)nnjjijjijiixxsxxjmnn'[0,1]ijx).,,2,1(}{min}{max}{min111mjxxxxxijniijniijniijij第二步.建立模糊相似矩阵设论域U=即数据矩阵为.如果与的相似程度为，则称之为相似系数。下边为确定相似系数的多种方法：（1）数量积法.对于,令，则取，显然.注：若出现某些，可令，则有。也可以用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵()ijnmAxixjxijr12{,,,}iiiimxxxxU1max()mikjkijkMxx[0,1]ijr'12ijijrr'[0,1]ijr()ijnmRr},,,,{21nxxx),,2,1(,,,21nixxxximiii),,2,1,)(,(~njixxRrjiijjixxMjirmkjkikij1,1,10ijr（2）绝对值指数法.令则（3）海明距离法.令其中H为使所有的确定常数.则（4）欧氏距离法.令其中E为使得所有的确定常数.则1exp{}(,1,2,,)mijikjkkrxxijn[0,1](,1,2,,)ijrijn[0,1](,1,2,,)ijrijn()ijnmRr()ijnmRr()ijnmRrmkjkikjijiijxxxxdxxdHr1),(),,(1),,2,1,(njimkjkikjijiijxxxxdxxdEr12)(),(),,(1),,2,1,(nji（5）切比雪夫距离法.令其中Q为使所有的确定常数.则（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对所研究的对象与相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第k位专家关于对象与的相似度评价为，对自己的自信度评估为，则相关系数定义为，则[0,1](,1,2,,)ijrijn()ijnmRr()ijnmRrjkikmkjijiijxxxxdxxdQr1),(),,(1),,2,1,(njiixjxkP)(krij)(kaijixjx),,2,1,(nji).,,2,1,()())()((11njikakrkarNkijNkijijij（7）夹角余弦法.（8）相关系数法.（9）指数相似系数法.（10）最大最小值法.（11）算术平均值法.（12）几何平均值法.（13）绝对值倒数法.第三步.聚类所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。（一）传递闭包法通常所建立的模糊矩阵R只是一个模糊相似矩阵，即R不一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R来构造一个模糊等价矩阵。根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R的传递闭包，即为一模糊等价矩阵。然后，由大到小取一组值，确定相应的截矩阵，从而可以将其分类，同时形成动态聚类图。]1,0[*R*)(RRt]1,0[（二）布尔矩阵法（三）直接聚类法四.模糊模式识别方法将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象识别它属于哪一类的问题称为模式识别。如果整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别。下面介绍两种最基本的模糊模式识别方法——最大隶属原则和择近原则。（ⅰ）最大隶属原则Ⅰ设在论域中有m个模糊子集（即m个模式）构成一个标准模式库，若对任意一个，存在使得，则可视相对隶属于。（ⅱ）最大隶属原则Ⅱ设在论域上确定一个标准模式，对于n个待识别的对象，如果有某个满足，则优先隶属于.12{,,,}nUxxx12,,,mAAA(0)xU00(1)kkm(0)x12{,,,}nUxxx0A12,,,nxxxUkx0A0(0)(0)1(){()}kkmAAkxx0kA)1)}(({)(001nkxxiAmikAkx模式识别中的择近原则设论域上有m个模糊子集（即m