空间几何体

第1页共49页专题二立体几何初步第五讲空间几何体第2页共49页要点串讲1.空间几何体的结构特征(1)棱柱的结构特征:棱柱有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线都互相平行.(2)棱锥的结构特征:棱锥底面是多边形,侧面都是有一个公共点的三角形.(3)棱台的结构特征:两底面是两个相互平行且相似的多边形,侧棱的延长线相交于一点,侧面是梯形.第3页共49页(4)将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆柱,这条直线叫做轴;将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆锥,这条直线叫做轴;将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆台,这条直线叫做轴;半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做球.半圆弧旋转而成的曲面叫做球面.第4页共49页2.三视图有如下一些规则:(1)三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图形.任意一个物体的长、宽、高,一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离.第5页共49页(2)一个物体的三视图的排列规则是,俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说“长对正､高平齐､宽相等”或“正侧一样高､正俯一样长､俯侧一样宽”.第6页共49页3.画立体图形的直观图的要求不高,只要会画圆柱､圆锥､正棱柱､正棱锥和正棱台的直观图即可.4.空间几何体的表面积与体积圆柱的表面积公式:S=2πr2+2πrl=2πr(r+l);(其中r为底面半径,l为圆柱的高);圆锥的表面积公式:S=πr2+πrl=πr(r+l)(其中r为圆锥的底面半径,l为圆锥的母线长);第7页共49页圆台的表面积公式:S=π(r′2+r2+r′l+rl)(其中r′和r分别为圆台的上､下底面半径,l为母线长);特殊棱柱——正方体､长方体､以及圆柱的体积公式:V=Sh(S为底面面积,h为高);一般棱柱的体积公式:V=Sh(S为底面面积,h为高);第8页共49页23131:Vh(S,h);():V(SS)h(SS(),h());:S4R,3VR(43R).SSS棱锥和圆锥的体积公式为底面面积为高圆台或棱台的体积公式､分别为圆台或棱台的上､下底面面积为圆台或棱台的高球的表面积和体积公式为球的半径第9页共49页高频考点类型一棱柱､棱锥､棱台【例1】在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点.这些几何体是________(写出所有正确结论的编号).第10页共49页①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.第11页共49页[解析]①正确,如图(1);②错,我们找不到符合题意的不是矩形的平行四边形;③正确,如图(2);④正确,如图(3);⑤正确,如图(4).故填①③④⑤.[答案]①③④⑤第12页共49页【探究1】把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为________.第13页共49页2232:xcm,6xcm,0x6,6xcmh,r,2rx,rV),21()(2414(6x6xx),V12x3x,V0x4,x4,4cm,2cm,xx解析设长方形的一条边长为则另一条边长为且以长为的边作为所围圆柱的高若设圆柱的底面半径为则有所以因此圆柱的体积由于令得容易推出当时圆柱的体积取得最大值此时圆柱的底面周长为圆柱的高为所以圆柱的底面周长2:1.与高的比为答案:2：1第14页共49页点评:由于圆柱的侧面展开图是一个矩形,所以将一个矩形旋转一圈就得到一个圆柱.在求圆柱体积的最大值时,将圆柱体积表示为矩形一边长的函数,求出函数解析式,然后借助导数求出函数的最大值,从而得到圆柱的最大体积以及此时矩形的一边的长,进而得到圆柱的底面周长与高的比.该题的解答体现了函数思想的应用.第15页共49页类型二直观图与三视图【例2】如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.第16页共49页[分析]由三视图知该几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥.第17页共49页第18页共49页[点评]由三视图想象几何体时,要充分结合正视图､侧视图和俯视图想象几何体的结构特征.熟知一些基本几何体的三视图对想象组合体的结构是非常有用的.第19页共49页【探究2】一个水平放置的三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是如图所示的边长为1的正三角形A′B′C′,则在真实图形中AB边上的高是________,三角形ABC的面积是________,你发现了什么问题吗?这个发现是________.66224第20页共49页分析:这个图形既然是用斜二测画法画出来的,而在这里隐藏了坐标系x′O′y′,我们只要加上这个坐标系,按照斜二测画法的规则“倒过去”即可得到真实图形.解本题容易出错的地方:一是加坐标系时方法选择不当,把坐标系加错,如以A′B′,A′C′为坐标系x′O′y′的两个坐标轴,这样坐标系中的角x′O′y′就是60°了;二是在还原真实图形时用错了斜二测画法的规则,如把与横轴平行的线段长度变为原来的二倍或是不改变与纵轴平行的线段的长度等,都会导致计算结果的错误.第21页共49页:ABC45xOy,1,,2,OAOA,ABAB,OC2OC,解析将放入一个锐角为的斜角坐标系中如图所示将其按照斜二测画法的规则还原为真实图形如图所示在真实图形中第22页共49页ODC,OCOCABC6,6,45266,.23,4324.AB462CCDsin在中故在真实图形中即真实图形中三角形的高为三角形的面积是由于直观图的面积是故直观图和真实图的面积之比是第23页共49页点评:水平放置的平面图形的直观图的画法第一,建立一个坐标系;第二,保持与坐标轴的平行性不变;第三,长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度减为原来的一半.按照这个规则很容易画出水平放置的平面图形的直观图,但高考命题中往往反其道而行之.实际上,上面的三个规则是“可逆”的,我们可以“逆用规则”解决这类问题.本题中只要找到了三角形的三个顶点的位置,问题就解决了.第24页共49页类型三几何体的表面积与体积3,SABCD,a,1..;22a【例】如图所示已知正四棱锥中底面边长为侧棱长为求它的外接球的体积求它的内切球的表面积第25页共49页[分析]外接球球心到各顶点的距离相等,内切球球心到各面的距离相等,两球心都在正四棱锥的高线上.第26页共49页[解](1)如右图所示,连结AC､BD交于点O1,连结SO1,则SO1⊥平面ABCD.设外接球球心为O,则O在高SO1上.第27页共49页111OA,OAOS,RtSAO,|AOSA,S12||O|,2262.2ACaaa连结则有在中又第28页共49页1112221122233RtOAO,OOSOSOAOOOOA,()aOA)OA,6||,226(226,OASABC36,34686().3327DaOAaaaaa在中又解得所以正四棱锥的外接球半径为其体积为第29页共49页(2)设内切球的半径为r,球心为M,显然该正四棱锥由以M为顶点的四个三棱锥(三棱锥M-SAB,三棱锥M-SBC,三棱锥M-SDC,三棱锥M-SAD)和一个四棱锥M-ABCD组成,这四个三棱锥和一个四棱锥的体积之和等于该正四棱锥的体积,2SBC1SB7|2,2C,SEBC,E,BE,21772|SB,24SESaa.aaaa在中作垂足为则又第30页共49页MSBCM--ABCDSSBCABCD1ABCD2222211133347116,34VVV,4SrSrSSO,ararar4a)4332426.1242647(.123aABCDaa正方形又解得所以该内切球的表面积为第31页共49页[点评]多面体､旋转体与球的外接､内切问题是高考考查的重点,此类问题多借助轴截面将立体几何问题转化为平面几何问题,然后通过解三角形求解.对于多面体内切球的问题,如本题常通过间接法进行求解.在本题中,外接球､内切球的球心都应在高SO1上,那么它们是同一个点吗?第32页共49页336,___m.6_m【探究】将一个钢球置于由根长度为的钢管焊接成的正四面体的钢架内那么这个钢球的最大体积为分析:求解时,先由题意确定满足条件的正四面体内的最大钢球的半径,再由球体积计算公式求得其体积.第33页共49页3:PABC,O,a,h,R.,OA,OB,OC,OPOABC,OPAB,OPBC,OPCA,Sh4SR11(33614,.).h3234R.hR6,RaV底底解析设正四面体为球心为正四面体的边长和高分别为钢球的半径为由于钢球体积最大时与四个面都相切显然将正四面体分割为四个体积相同的四面体所以所以又所以所以钢球的最大体积为:6答案第34页共49页点评:本题是一道新颖的求解几何体体积的典型问题,它与最值问题进行交汇,使得其问题的能力立意更强了.求解本题最主要的一点就是要确定出正四面体的内切球及其半径的大小,而解决这一点利用的是等积法.等积法是求解立体几何相关问题的一种重要方法,如求解点到面的距离､几何体的高､球体的半径等等,等积法的应用要配合好几何体的分割组合,这是等积法求解问题的关键点.第35页共49页好方法好成绩1.正四面体就是棱长都相等的三棱锥,正六面体就是正方体,连结正方体六个面的中心,可得到一个正八面体,正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.正方体与球有以下三种特殊情形:一是球内切于正方体;二是球与正方体的十二条棱相切;三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a,球的半径为R).第36页共49页22223RaRaRa第37页共49页2.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变､三不变”.三变:坐标轴的夹角改变,与y轴平行线段的长度改变(减半),图形改变.三不变:平行性不变,与x轴平行的线段长度不变,相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:SS,S2224S.直观图原图形原图形直观图第38页共49页2223.1abc,2R. 2a,3a2R.abc长方体的外接球长､宽､高分别为、、的长方体的体对角线长等于外接球的直径即棱长为的正方体的体对角线等于外接球的直径即第39页共49页234.a12.345a,a.362..23266,.4122312aaaaa棱长为的正四面体与球斜高为高为对棱中点连线长为外接球的半径为内切球的半径为正四面体的表面积为体积为5.a12.3,a连结棱长为的正方体的四个顶点可以得到一个棱长为的正四面体其体积为正方体体积的第40页共49页高考陪练1.(2010·新课标全国卷)设长方体的长､宽､高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2第41页共49页22222:,,.,2a,a,a,,,2RR,S4R6a,B.64,2aaaa解析本题考查了长方体的外接球的表面积的算法此题是简单题在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径由题可知长方体的长､宽､高分别为其顶点在同一个球面上所以球的直径等于长方体的体对角线的长度故解得所以球的表面积故选答案:B第42页共49页2323.223.4232.(2009),.2.433ABCD山东卷一空