实数全章教案

实数全章教案12．1实数的概念教学目标知识与技能：了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想.过程与方法：通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.情感态度价值观：通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.教学重点及难点理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.教学用具准备各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备.教学过程设计一、复习引入教师设问：(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(qqpqp都是整数，且的形式？答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式.[说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.二、学习新知1．操作剪拼正方形，引出2.要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？师：如果设该正方形的边长为x，那么22x，即x是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示.追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示.2．尝试说明2是一个无限不循环小数.要求学生尝试完成以下填空：假设2是一个有理数，设)0,(2qqpqp表示整数且互素，同时，等式两边分别平方，可以得到2=，则2p=，由此可知p一定是一个（填“奇”或“偶”）数，再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么2q=，同理可知q也是.这时发现p、q有了共同的因数2，这与之前假设中的“”矛盾.因此假设不成立，即2不是，而是无限不循环小数.师生总结：从以上填空可以说明2是无限不循环小数.3．请你再举出几个无限不循环小数的例子.除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.三、形成概念1．无理数无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.2．实数有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：正有理数有理数零——有限小数或无限循环小数实数负有理数正无理数无理数——无限不循环小数负无理数四、巩固练习1．将下列各数填入适当的括号内：0、-3、2、6、3.14159、32.0、722、5、π、0.3737737773….有理数：﹛﹜；无理数：﹛﹜；正实数：﹛﹜；负实数：﹛﹜；非负数：﹛﹜；整数：﹛﹜.2．判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.3．请构造几个大小在3和4之间的无理数.4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：(1)2分数.(2)0有理数.{{{(3)无限不循环小数无理数.(4)实数有理数和无理数.(5)正整数、0和负整数整数.(6)有理数有限小数或无限循环小数.五、自主小结请学生谈谈：你学到了什么?你有什么样的疑问？你有什么收获、体会或想法?你还想知道什么？六、布置作业布置作业：必做：数学练习册12.1习题选作：伴你成长教学反思本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出“正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性.（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受2的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述.（2）考虑到学生层次相对较好，教学中以2为例，教师与学生一起通过说理，说明了2不是有理数，而是一个无限不循环小数.对此，可结合本班学生实际特点开展教学.（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明.（4）实数的分类办法，建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，应予重视.在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想.（5）练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1中722应给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理数范畴.练习2的（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论.在此可引导学生总结实数的另一种分类方法。12.2平方根和开平方（1）教学目标知识与技能：知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；过程与方法：会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.情感态度价值观：理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；教学重点及难点理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.教学过程设计一、问题导入1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x0，所以x=8.3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？二、学习新课1、概念辨析：（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x2=a，我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.【强调】平方运算和开平方运算互为逆运算.2．例题分析：求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？（1）0.16;（2）-259;（3）0.解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.因为不存在一个实数的平方根为-259，所以-259无平方根.因为02=0，所以0的平方根为0.3．性质归纳：（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±a”，它们互为相反数，其中“a”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±0=0.【说明】“a”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术．．平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a，即（a）2=a.三．问题拓展思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？（1）2)3(的意义是什么？2)3(=？（2）2)3(的意义是什么？2)3(=？（3）2)3(的意义是什么？2)3(=？（4）2)3(的意义是什么？2)3(=？（5）计算：2)31(=______2)31(=______2)7(=_______2)7(=______210=_______2)10(=______.2．规律总结：（1）．2a表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以2a=∣a|∣.（2）．2)a(表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且2)a(=a；2)a(表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且2)a(=a；综上所述，（±a）2=a.四、巩固练习1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.（1）49=-7;（2）2)2(=2;（3）-2)5(=5;（4）81=±92．求下列各数的正的平方根：（1）225；（2）0.0001；（3）1219.3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.【说明】练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.五、课堂小结1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？六、作业布置必做：1.课本和练习册上的练习2.复习所学的知识选作：伴你成长、预习新课教学反思：1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.这里的教学多举一些实例进行说明.2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.4．要理解公式“2a=∣a∣”和“（±a）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生2a≥0的印象，然后归纳出“2a=∣a∣”.（2）通过对“2)3(的意义和计算结果”的讨论，达到对“2)3(无意义”的理解，从而总结出“（±a）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.12.2平方根和开平方（2）教学目标知识与技能：会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.过程与方法：会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；情感态度价值观：经历2是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；教学重点1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.教学难点尝试用逐步逼近法探索2的近似值.教学过程设计一、复习引入1．问题：2的意义是什么？根据其意义，你能否猜测2有多大？2．探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积124，所以边长122，即2的整数部分为1.3．规律总结：当cab0时，bac.二、学习新课1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；2、思考：（1）观察计算结果，你有什么发现？小结：由以上计算结果可知：1.4221.52，根据上述规律可得：1.421.5，所以2的十分位为4.（2）：如何求2的百分位？方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.因为