理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学第九章、第十章

1动动力学第五章部分习题解答5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物1M和质量为8kg的重物2M，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物2M的加速度2a及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力gMgM21,。假设重物2M的加速度2a的方向竖直向下，则重物1M的加速度1a竖直向上，两个重物惯性力21,IIFF为：111aMFI
222aMFI
(1)该系统有一个自由度，假设重物2M有一向下的虚位移2x，则重物1M的虚位移1x竖直向上。由动力学普遍方程有：022112211

xFxFxgMxgMWII（2）根据运动学关系可知：2121xx
2121aa
（3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意02x有：)/(8.2424212122smgMMMMa

方向竖直向下。取重物2M为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：222aMTgM
解得绳子的拉力)(1.56NT
。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：2])[(21
RlmT
M1gM2gFI2FI1δx2δx1M2gTa22取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，系统的势能为：]cos)(sin[RlRlmgV
拉格朗日函数VTL
，代入拉格朗日方程有：0)(
LLdtd
整理得摆的运动微分方程为：0sin)(2
gRRl


5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为sin4bs
，式中s是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：221SmT

取轨线最低点O所在的水平面为零势面，系统的势能为：mghV
由题可知bSdSdh4sin

，因此有：bSdSbShS8420

则拉格朗日函数：22821SbmgSmVTL


代入拉格朗日方程：0)(
SLSLdtd
，整理得摆的运动微分方程为：04
SbgS

，解得质点的运动规律为：0)21sin(0

tbgAS，其中0,A微积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。零势面h零势面3解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：22)sin(21)(21rmrmT

取圆环最低点A所在的水平面为零势面，系统的势能为：)cos1(
mgrV则拉格朗日函数：co1()sin(212222

mgrmrVTL
代入拉格朗日方程：0)(
LLdtd
，整理得质点的运动微分方程为：0sin)cos(2
rg

2.求维持圆环作匀速转动的力偶M如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，去角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以
代替，则拉格朗日函数为：)cos1()sin(212222

mgrmrVTL

力偶M为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取0,0
，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为0][
W，因此力偶M对应于广义坐标的广义力0
MQ；取0,0
，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为
MW][，因此力偶M对应于广义坐标的广义力MWQM

][；代入拉格朗日方程0)(

MQLLdtd
，整理可得：0sin
rg

零势面4代入拉格朗日方程MQLLdtdM

)(
，整理可得：Mmrmr




2sinsin222圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：0,




，代入上式可得：2sin2
mrM
5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴21OO转动，轴21OO又绕铅垂轴OC以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于21OO的直线上，lGO
3。设21OO和GO3是物体过3O点的惯量主轴，转动惯量为1J和2J，物体对另一过3O点的惯量主轴的转动惯量为3J，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：以该物体为研究对象，有一个自由度，取GO3和OC的夹角为广义坐标。若以框架OCOO21为动系，则物体的相对运动是以角速度
绕轴21OO的定轴转动，牵连运动是以角速度绕OC轴的定轴转动，物体的绝对角速度φ
是
和的矢量之和。为了方便起见，以21OO为x轴，GO3为y轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，将角速度是
和在该坐标系上投影有：zjiφ
sincos

。坐标系zyxO3的三个坐标轴为过3O点的三个惯量主轴，则系统的动能为：])sin()cos([21232221JJJT

x’z’y’
z’GO3θ垂直于O1O2的平面y’5取圆环最低点A所在的水平面为零势面，系统的势能为：cosmglV
则拉格朗日函数：cos])sin()cos([21232221mglJJJVTL


代入拉格朗日方程：0)(
LLdtd
，整理得物体的运动微分方程为：sincossin)(3221mglJJJ


5-15长为2l，质量为m的均质杆AB的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，如图所示，框架以角速度绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，该系统是保守系统，有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直。杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。AB杆相对于框架作平面运动，速度瞬心为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知lBCOCAC


，则质心为C的速度：
lvC
杆AB相对于框架运动的动能：22222132])2(121[2121

mllmmvTC

杆AB随框架转动的动能2222022sin32)sin(221mlxdxlmTl

系统的动能21TTT
。取090
为势能零点，则系统的势能为：cosmglV
则拉格朗日函数：cos)sin(322222mglmlVTL


代入拉格朗日方程：0)(
LLdtd
，整理得系统的运动微分方程为：0sin3cossin442
gll

CO6由于角描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。5-17重1P的楔块可沿水平面滑动，重2P的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水平力F，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移x，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移s为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度Av，楔块B的速度Bv，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：BrABvvv
系统的动能为：])sin()cos[(2221212222122ssxgPxgPvmvmTBBAA





22222121cos1)(21sPgsxPgxPPg




取过x轴的水平为零势面，系统的势能为：sin2sPV
则拉格朗日函数：sin21cos1)(212222221sPsPgsxPgxPPgVTL





将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下：取0,0
sx，在这组虚位移下力F所作的虚功为xFWx
][，因此力F对应于广义坐标x的广义力FQFx
；取0,0
sx，在这组虚位移下力F所作的虚功为sFWscos][
，因此力F对应于广义坐标s的广义力cosFQFs
；代入拉格朗日方程FQxLxLdtdFx

)(
，整理可得：FgsPxPP




cos)(221（1）xsAvBrv7代入拉格朗日方程cos)(FQsLsLdtdFs


，整理可得：gPFsPxP)sincos(cos222




（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：gPPPFxaA2212sincossin



，方向水平向右。楔块B的相对加速度：gPPPPPPFPsaBr)sin(sin)(cos22122211



，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为1m，半径为r的均质圆柱沿楔块的AB边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移x，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度Av，圆柱轴心O的速度ov，以及轴心O相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：OrAOvvv
圆柱在斜面上作纯滚动有：rvOr

。系统的动能为：221212)21(212121
rmvmmvTOA
221221241])sin()cos[(2121




rmrrxmxm
22112143cos)(21



rmxrmxmm
取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：sin1rgmV
则拉格朗日函数：xφAvOrv零势面8sin43cos)(211221121rgmrmxrmxmmVTL





代入拉格朗日方程0)(
xLxLdtd
，整理可得：0cos)(11




rmxmm（1）代入拉格朗日方程0)(
LLdtd
，整理可得：sin2cos23gxr




（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加速度：gmmmmxa2111cos2)(32sin



，方向水平向左。圆柱的角加速度：grmmmmm]cos2)(3[sin)(22111



，顺时针方向。5-21系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物321,,MMM的质量分别为321,,mmm，32321,mmmmm，滑轮的质量忽略不计。若初始时系统静止，试求欲使1M下降，质量21,mm和3m之间的关系。解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度。取重物1M的位移1x，以及重物2M相对于滑轮B的轮心位移2x为广义坐标。系统的动能为：22132212211)(21)(2121xxmxxmxmT





2123223221321)()(21)(21xxmmxmmxmmm




假设021

xx时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为：x1x29)()(21312211xxgmxxgmgxmV
2321321)()(gxmmgxmmm
拉格朗日函数：2123223221321)()(21)(21xxmmxmmxmmmVTL





2321321)()(gxmmgxmmm代入拉格朗日方程