66离散傅里叶变换(DFT)

第三章离散傅里叶变换（DFT）•傅立叶级数（DFS）•傅立叶变换（DFT）•DFT应用•DFT存在的问题FSFTDFSDTFT：FS：傅立叶级数展开,用于分析连续周期信号,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。DTFT：离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。DFS：离散时间傅立叶级数，离散周期序列信号，取主值序列，得出每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。00离散性谐波性周期性离散性谐波性衰减性连续周期离散FS非周期DTFTDFSFT密度性连续性周期性密度性连续性衰减性采样采样周期周期DFT的提出：离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT，它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。§0、离散时间傅立叶变换“DTFT”是“DiscreteTimeFourierTransformation”的缩写。传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(其中ω为数字角频率，单位为弧度。注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应关系。§1、傅里叶级数周期为N的序列基频序列为nNjene)2(1)(k次谐波序列为nkNjkene)2()(因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1).)()(22)(neeeneknkjrNknjrNkNN∴也是以N为周期的周期序列nkjNe2nkjNe2)(~nx故所有谐波成分中{}只有N个是独立的，可以用这N个独立成分将展开。)(),(~)(~为整数rrNnxnx是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：)(~)(~nxkX102)(~)](~[)(~NnnkNjenxnxDFSkX102)(~1)](~[)(~NknkNjekXNkXIDFSnxNjNeW2习惯上：记NjNeW21.周期性)(rNnNnNWW2.共轭对称性*)(nNnNWW3.可约性nNrnrNWW4.正交性011)(110)(10*NnnkmNNnmnNknNWNWWNkmkmWN的性质:是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，幅度为)(~kXkN2)(1~kXNDFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。1010)(~)(~1)(~)(~)(~)(~NkknNNnknNkXIDFSWkXNnxnxDFSWnxkX则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶级数的特点：（1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有无穷多。而周期为N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量只有N个是独立的。（2）周期序列的频谱也是一个以N为周期的周期序列。)(~kX例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要求：（1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。clear;N=16;xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)];xn=[xn,xn,xn];n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k);%DFS变换x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n‘*k))/N;%IDFS变换subplot(2,2,1),stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x));%显示IDFS结果title(‘IDFS|X(k)|’);axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk));%序列幅度谱title('|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]);subplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk));%序列相位谱title('arg|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);01020304000.20.40.60.81x(n)010203040123456789IDFS|X(k)|01020304024681012|X(k)|010203040-1.5-1-0.500.511.522.5arg|X(k)|01020304000.51x(n)0102030400.20.40.60.81IDFS|X(k)|01020304024681012|X(k)|010203040-1012arg|X(k)|比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);序列周期重复次数对序列频谱的影响：理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理，然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。例：一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一个周期的采样点数为10点，要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。重复周期数分别为：1，4，7，10.clear;xn=[ones(1,5),zeros(1,5)];Nx=length(xn);%单周期序列长度Nw=1000;dw=2*pi/Nw;%把2*pi分为Nw份频率分辨率为dwk=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5));%建立关于纵轴对称的频率相量forr=0:3;K=3*r+1;%1,4,7,10nx=0:(K*Nx-1);%周期延拓后的时间向量x=xn(mod(nx,Nx)+1);%周期延拓后的时间信号xXk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K;%DFSsubplot(4,2,2*r+1),stem(nx,x);axis([0,K*Nx-1,0,1.1]);ylabel('x(n)');subplot(4,2,2*r+2),plot(k*dw,abs(Xk));axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]);ylabel('X(k)');end012345678900.51x(n)-4-3-2-101234024X(k)0510152025303500.51x(n)-4-3-2-101234024X(k)010203040506000.51x(n)-4-3-2-101234024X(k)02040608000.51x(n)-4-3-2-101234024X(k)结论：序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当序列信号的周期数N为无穷大时，频谱转化为离散谱。DFS的局限性：在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间n上是离散的，在频率ω上也是离散的，且频谱是ω的周期函数，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：nNnnxnx其余010)()(~)(~nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)(~)()()(~§2、离散傅里叶变换（DFT）1）主值区间与主值序列对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：其中：RN(n)为矩形序列。符号((n))N是余数运算表达式，表示n对N求余数。)(~nx)(~nx)(~nx)(~)()()(~主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx)())(()()(~)())(()(~nRnxnRnxnxnxnxNNNN周期序列的主值区间与主值序列：即nmodN：10,11NnnMNnx(n)与的图形表示：)(~nx)(~nx)(nxnn……00例：是周期为N=4的序列，求n=6和n=-1对N的余数。因此:)(~nx3))1((34)1(12))6((241644nn)3()1(~),2()6(~xxxx)(~nx)(nxnn……003362-1例：102~41~))(()())(()(,7},,6,54,3,,2{1(n)7Mnxnxnxnxx和分别求出点的有限长序列：解：}6,4,10,8{)()())(()(651)3()1()3(4)2()2(1073)5()1()1(862)4()0()8()4()0()4()8()420()410()0()410()420()0())(()()()(41~41~1~1~1~1~41~~nRnxnxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx