2.1-数学归纳法及其应用举例-第二课时-数学归纳法及其应用举例(二)

首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析第二课时数学归纳法及其应用举例(二)首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析想一想：在证明传递性时，应注意：1．证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则就不是数学归纳法证明．对于这一点，学生可能难以理解：n＝k成立是假设的，用假设来证明可靠吗？应指出，这一步是证明传递性，正确性由第一步保证．2．证n＝k＋1成立时，可先列出n＝k＋1成立的数学式子，作为证明的目标，否则，学生在证明时会迷失方向．例如用数学归纳法证明12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)中，第二步证明是假设12＋22＋32＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)，然后证明12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝16(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]成立．3．弄清传递性证明的已知和求证后，关键要抓住三点：由n＝k过渡到n＝k＋1，左边相差什么式子？整式恒等变形常用方法有哪些？如何变形？首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析(1)用数学归纳法来证明有关整除性、几何方面的问题，关键是寻找f(k＋1)与f(k)之间的递推关系，基本策略就是“往后退”，从f(k＋1)中将f(k)分离出来．(2)数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明．既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有一定的综合性，是最近几年高考热点问题之一．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析做一做：1．用数学归纳法证2n＞n2(n∈N*且n≥5)时，应当首先验证(D)(A)2＞1(B)24＞42(C)23＞32(D)25＞52解析：n取最小的数n0＝5，故选D.2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”第二步归纳假设应写成(A)(A)假设n＝2k＋1(k∈N)正确，再推n＝2k＋3正确(B)假设n＝2k－1(k∈N)正确，再推n＝2k＋1正确(C)假设n＝k(k∈N)正确，再推n＝k＋1正确(D)假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确解析：由数学归纳法知选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)与下列哪一项的和(B)(A)π2(B)π(C)32π(D)2π解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，内角和增加π，故选B.4．用数学归纳法证明“56n＋5＋76n＋7能被9整除”的第二步中，为了使用归纳假设，应将56(k＋1)＋5＋76(k＋1)＋7变形为________．答案：76(56k＋5＋76k＋7)＋(56－76)·56k＋5或56(56k＋5＋76k＋7)＋(76－56)·76k＋7首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析知识要点一：不等式问题用数学归纳法证明不等式问题，关键是搞清从n＝k到n＝k＋1时要证明的目标不等式，证明时可以结合分析法、综合法、放缩法等进行证明．知识要点二：整除与几何问题用数学归纳法证明整除性问题，关键是通过添项、提取公因式凑出归纳假设，而证明几何问题的关键是找出由n＝k到n＝k＋1的变化规律即递推关系．要注意结合图形特点进行分析，用数学归纳法证明几何问题时，还要注意由n＝k到n＝k＋1的叙述也是非常重要的，要把其中的变化关系写清、写明．知识要点三：数学归纳法与不完全归纳法问题用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明，即“观察、归纳、猜想、证明”是高考中经常出现的题型，要用心体会．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析用数学归纳法证明不等式问题【例1】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1＋13)(1＋15)…(1＋12n－1)2n＋12成立．思路点拨：本题是证明关于大于1的自然数n的不等式问题，可利用数学归纳法进行证明．从n＝k到n＝k＋1要证明的不等式为：(1＋13)(1＋15)…(1＋12k－1)[1＋12k＋1－1]2k＋1＋12.利用归纳假设后可用放缩法证明．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析证明：①当n＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左右，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即(1＋13)(1＋15)…(1＋12k－1)2k＋12，那么当n＝k＋1时，(1＋13)(1＋15)…(1＋12k－1)[1＋12k＋1－1]2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析在用数学归纳法证明不等式时，往往需要综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、配方法、分析法、综合法、重要不等式法、放缩法(特别注意放缩要有“度”)等．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练11：用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，1＋12＝32，所以1＋12≤12＋1，即n＝1时命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋112＋k＋2k2k＋1＜12＋(k＋1)所以1＋12＋13＋…＋12k＋112＋(k＋1)．即n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知n∈N*时，原命题成立．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析数学归纳法证明整除问题【例2】用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．思路点拨：当n＝1时，原式＝27能被9整除，因此，要研究(3k＋1)·7k－1与(3k＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1能被9整除．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析证明：法一：(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除．当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋1＋3)·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k能被9整除．所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除．即n＝k＋1时命题成立．由(1)，(2)可知，对所有正整数n，命题成立．法二：设f(n)＝(3n＋1)·7n－1.(1)f(1)＝(3×1＋1)·7－1＝27能被9整除，因此n＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即f(k)(k∈N*)能被9整除，则f(k＋1)－f(k)＝[(3k＋4)·7k＋1－1]－[(3k＋1)·7k－1]＝9·(2k＋3)·7k.由于f(k)能被9整除，9(2k＋3)·7k能被9整除，则f(k＋1)能被9整除．由(1)，(2)可知，对所有正整数n，f(n)能被9整除．本题的两种证法实质是一样的，证法一是把(3k＋4)·7k＋1－1设法凑出(3k＋1)·7k－1，而证法二则是通过计算f(k＋1)－f(k)而避免了凑的过程．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练21：用数学归纳法证明：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．证明：(1)当n＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除，命题成立．(2)假设当n＝k时，命题成立，即32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.因为32k＋2－8k－9能被64整除，所以32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9能被64整除，即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*，命题都成立．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析用数学归纳法证明几何问题【例3】平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．思路点拨：此命题是与正整数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明．证明：(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成两块，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成了f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n∈N*，命题都成立．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析(1)关键要搞清楚从“n＝k”转化到“n＝k＋1”时的变化规律．(2)对于本题，证明第二步时，通常需借助图形的直观性，说清楚第k＋1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧，而每条弧又把它所在部分分成两块，从而建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析特殊值求参数，再用数学归纳法证明【例4】设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，是否存在关于正整数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切正整数都成立？并证明你的结论．思路点拨：本题主要考查归纳的方法及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．g(n)是怎样一类函数，从已知条件是判断不了的，所以不能用待定系数法．注意到n是正整数，我们不妨用“归纳——猜想——证明”的方法来解．解：假设存在，则当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，得g(2)＝f1f2－1＝11＋12－1＝2，当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，得g(3)＝f1＋f2f3－1＝1＋1＋121＋12＋13－1＝3，猜想g(n)＝n(n≥2)．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．①当n＝2时，经计算知，等式成立．②假设当n＝k时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1)](k≥2)成立，那么当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的正整数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的g(n)与n的关系式，猜想的关系式未必对任意的n(n∈N*)都满足条件，故需用数学归纳法证明．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练41：是否存在常数a，b，c使得等式1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)对一切n∈N*都成立？并证明你的结论．解：假设存在a，b，c使等式