全微分

8.3全微分1全微分的定义小结思考题作业totaldifferentiation8.3全微分全微分在近似计算中的应用第8章多元函数微分法及其应用8.3全微分2函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时8.3全微分3先来介绍全增量的概念),(),(yxfyyxxfz为了引进全微分的定义,全增量.内有定义,函数取得的增量全增量.一、全微分的定义设二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx,Δy时,称为f(x,y)在点(x,y)的8.3全微分4)(xfy)()(xfxxfyy=f(x)在点xxAyΔd可微,)(xoxA.d)(xxf一元函数的微分成立(其中A是与Δx无关的常数),则称函数8.3全微分5定义8.6)0()(oyBxAz,)()(22yxyBxA全微分.可表示为可微分,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)称为函数z=f(x,y)在点记作,dz即.dyBxAz函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于Δx、处(x,y)处的如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全其中A、B仅与x、y有关,Δy,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.),(),(yxfyyxxfz增量8.3全微分6可微与连续有何关系呢？微分系数注yBxAzd全微分有类似一元函数微分的)(oyBxAzA=?B=?两个性质:高阶无穷小.zd可微与偏导数存在有何关系呢？(1)dz是Δx与Δy的线性函数;(2)Δz与dz之差是比8.3全微分7)0()(oyBxAz显然,由全微分的定义,有可得z0lim0多元函数可微必连续不连续的函数若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,))((lim0oyBxA一定是不可微的.一元函数连续的定义0lim0yx定理8.2则函数在点(x,y)必连续.证0,0yx则,0令都不能保证函数在该点连续,数在某点可微是否保证上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续而多元函8.3全微分8.dyyzxxzz可微必可导定理8.3(可微的必要条件)若函数z=f(x,y)可微分,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微yzxz、在点(x,y)则该函数在点(x,y)的偏导数必存在,分为8.3全微分9证)(oyBxAz总成立,),()0,(yxfyxxfz|),(|xoxAxyxfyxxfx),(),(lim0xz同理可得.yzB,0时当y上式仍成立,此时PyyxxP),(的某个邻域如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,|,|xyyzxxzzd,必存在、偏导数yzxz如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为可微可偏导不可偏导不可微A8.3全微分10多元函数的各偏导数存在如,0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)由定理8.3知:,)0,0(处有在点一元函数的可导与可微的关系?.0)0,0()0,0(yxff微分存在.全微分存在.8.3全微分11])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx则22)()(yxyx22)()(xxxx,21])0,0()0,0([yfxfzyx处有在点)0,0(说明它不能随着0而趋于0,,0时当因此,如果考虑点),(yxP沿直线xy趋近于(0,0),),(o)(oyBxAz]),(),([0000yyxfxyxfzyx)(o?,0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf函数在点(0,0)处不可微.8.3全微分12说明各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明各个偏导数连续,8.3全微分13),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf证)],,(),([yxfyyxf在该点的某一邻域内必存在的意思.定理8.4,),(连续在、yxyzxz(今后常这样理解).用拉氏定理(可微的充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数的偏导数若函数z=f(x,y)则该函数在点(x,y)可微分.8.3全微分14),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1xxyxfx1),(11),(),(.),(),(yxfyyxxfyxyxfxxx令连续在点由)0,0(01yx其中8.3全微分15xxyxfx1),(yyyxfy2),(zyx21,00同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfyxyxfx),(x1yyxfy),(y221,0,02时当y]),(),([yyxfxyxfzyxyx21故函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微.因为8.3全微分16在原点(0,0)可微.yzxz,并非必要条件.如0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0xxxx220)(1sin)(lim事实上,注定理8.4的条件(即两个偏导数点(x,y)连续)可微0仅是函数z=f(x,y)在点(x,y)处的充分条件,同样,0)0,0(yf)(])0,0()0,0([yfxfzyxo22)()(yx在8.3全微分17)0,0()0,0(fyxfz2222)()(1sin])()[(yxyx0lim))()((22yx在原点(0,0)可微.,0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数0)0,0(yf0)0,0(xf201sinlimz00])0,0()0,0([yfxfyx于是,])0,0()0,0([yfxfzyx)(o)(])0,0()0,0([yfxfzyxo22)()(yx8.3全微分18)(0)(0yx2222221cos21sin2yxyxxyxx即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,yfxfzyx)0,0()0,0(d事实上,),(yxfx,0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数偏导数在原点(0,0)不连续.所以,0)0,0(yf0)0,0(xf特别是),(lim0xxfxx不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限,时当xy)21cos121sin2(lim220xxxxxfy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,,022时当yx函数在一点可微,此题说明:在这点偏导数不一定连续.)0,0(),(lim00xxyxfyxf)0,0(),(lim00yyyxfyxf8.3全微分19判别f(x,y)在点(x0,y0)是否可微的方法:(1)若f(x,y)在点(x0,y0)不连续,或偏导不存在则必不可微;(2)若f(x,y)在点(x0,y0)的邻域内偏导存在且连续必可微;(3)检查))(,(),(),(00000xxyxfyxfyxfx))(,(000yyyxfy是否为2020)()(yyxx的高阶无穷小?即检查]),(),([0000yyxfxyxfzyx是否为的高阶无穷小(即极限为0)?若为0,则可微,否则不可微.8.3全微分20记全微分为.dddyyzxxzz.ddddzzuyyuxxuu通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质,同样有:习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理.这里仍适用.如三元函数u=f(x,y,z),则之和(一阶)全微分形式的不变性.8.3全微分21解,e2xyyxxz,exyxyzzd例计算函数xyxze2在点(1,2)的全微分.所以.de)de1(222yxyyzxxzyxyxdd2121yyzxxzzddd8.3全微分22解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzyyzxxzzddd)π,4π()π,4π()π,4π().π74(π82,π,4π),2cos(yxyxyz当求函数例.πd,4πd时的全微分yx8.3全微分23答案.的全微分求zyxuudyyxyzzdxyxyzzd1zyxyxzdlnzzuyyuxxuudddd)(d),3(2zyxfz则全微分设)d3d6)(3(22yxxxyyxf答案8.3全微分24解例,322yxyxz设,96.23,05.22变到从变到从yx试比较zzd与的值.z])96.2(96.205.23)05.2[(22]33232[22zd)04.0(005.013.65.005.0)3,2(xz)04.0()3,2(yz,6449.005.0x04.0y20x30y),(),(0000yxfyyxxf8.3全微分25二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知,两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且|Δx|,|Δy|都较小时,就有近似等式yyxfxyxfzzyx),(),(d上式也可以写成yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(8.3全微分26解例计算02.2)04.1(的近似值.),(yxfz设利用函数yxyxf),(在点),(00yx处的可微性,可得02.2)04.1()02.2,04.1(f)2,1(f02.0004.021.08.1,yx)2,1(04.0x02.0yzf)2,1()2,1(fzdyfxfyx)2,1()2,1(yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(|Δx|,|Δy|都较小时当两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,8.3全微分27)(d,uxyuz则设函数考研数学(三,四)填空4分)0,1(d),1ln()1(ezyxxzyx则设二元函数解udxyzdyxzyzd1zyxyzdln解xyxdexyxde)d(eyxxyxxyd)1ln()1(d11yyxxyxde)d(deyxxyxxy