CFD应用05=网格与高精度差分计算

网格与高精度差分计算问题目前，复杂外形绕流的N-S方程数值模拟研究与应用工作越来越多。在这些计算模拟工作中，有的计算采用十多万或者几十万个网格点,有的则采用数百万个甚至上千万个网格点。分析这些研究给出的结果大致可以得到以下结论：当用高阶格式求解时，所需的网格点数比低阶格式要少；当用二阶精度格式求解时,对于高雷诺数流动，在物体的迎风区，粗网格的结果和实验值尚能接近，但对于背风、拐角等具有分离、旋涡和强烈压缩或膨胀的流动区域，其粗网格的结果和实验相差甚远；细网格可给出与粗网格完全不同的旋涡和分离结构；这些情况给我们提出如下问题：当用二阶格式求解复杂外形绕流的N-S方程时,应该如何选择网格点数才能获得满意的结果？粗网格的数值模拟，在多大程度和多大范围内能反映粘性的效应？其机理和规律是什么？对于高阶精度的差分格式，为什么网格点的数目可以放松？对于有激波的流场，如何建立高阶精度的差分格式？网格点数和格式精度的关系三维流动无量纲化的N-S方程可写成：这里x,y,z分别表示流向、周向和物面法向的坐标，并为了简单，略去了无量纲化的方法和方程中各项及各个符号意义的说明。ReL是以物体长度L为特征长度的雷诺数。如果采用m阶精度的差分格式求解无量纲化的N-S方程,与m阶精度的差分格式等价的修正方程是式中△x,△y,△z表示网格间距；O(△xm,△ym,△zm,…)表示截断误差项,它们是m阶以上的小量。修正方程可进一步写成：选择，使其满足于是：这样，与m阶精度的差分格式等价的修正方程则可进一步写成：对于高雷诺数流动,除非很大,粘性项的贡献是比较小。采用差分方法要能正确计算这些小量项的贡献，必须要求截断误差项比粘性项的贡献要小很多。至此，我们可以看出：如果所采用的网格和计算格式使αm，则x方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围；同样如果βm或者γm时,则所用网格和差分格式使y方向或z方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围。只有当α,β,γ分别取值小于或远小于m时，所采用网格和差分格式才能比较正确地计入各方向的粘性贡献。这也进一步表明：当α,β,γ分别取值m时,就可以得出x,y,z方向的临界网格间距△x*,△y*,△z*其意义是：当实际采用的计算网格△x,△y,△z分别小于或远小于临界网格间距时，x,y,z方向的粘性效应就能被正确计入。否则，如果某方向所用的网格间距大于该临界网格值时，则该方向的粘性效应可能就落入截断误差的范围。在很多采用二阶差分格式求解N-S方程的计算中，x,y方向的网格没有达到临界值的要求。因为z方向的网格，在物面附近采用了压缩技术，在物面附近，相应的γm=2，因此物面附近的粘性效应能够被计入。但是在x,y方向，由于网格基本是接近等距的，相应的α,β都大于m=2，因此这些计算表面上是求解完全的N-S方程，而事实上，其精度仅相当于薄层近似N-S方程的求解。有些计算，x方向的网格数不满足要求,但y,z方向满足，此时相当于求解抛物化N-S方程。鉴于二阶格式求解N-S方程时对网格要求的上述困难，采用高阶格式，可以解决这个矛盾，因此发展高阶精度的差分格式是很有意义的。建立高阶格式的基本原则在利用高阶格式求解N-S方程时，粘性项采用高阶中心格式是适宜的，其主要困难是如何妥善处理无粘项，特别是对于有激波的情况，应能光滑和狭窄捕捉激波。无粘流动的计算格式研究是高阶差分格式研究的重点。谢谢！