第三章-傅里叶变换-重要公式

1第三章傅里叶变换重要概念与重要公式一、傅里叶级数1、三角函数形式的傅里叶级数任何周期信号()ft可以分解为（1）()()0111()cossinnnnftaantbntωω∞==++∑傅里叶系数：()()()()()01001001001111112cos1,2,3,2sin1,2,3,tTttTnttTntaftdtTaftntdtnTbftntdtnTωω+++=====∫∫∫其中112Tπω=（2）()011()cosnnnftccntωϕ∞==++∑00221,2,3,arctan1,2,3,nnnnnncacabnbnaϕ==+==−=（3）()011()sinnnnftddntωθ∞==++∑00221,2,3,arctan1,2,3,nnnnnndadabnanbθ==+===2、虚指数形式的傅里叶级数1()jntnnftFeω∞=−∞=∑2傅里叶系数：()011011tTjntntFftedtTω+−=∫0,1,2,n=±±nF与其它系数有如下关系：0000Fcda===()12njnnnnFFeajbϕ==−()12njnnnnFFeajbϕ−−−==[phone]nnnnnnFFcdab−====+nnnFFc−+=nnnFFa−+=()nnnbjFF−=−22224nnnnnncdabFF−==+=二、周期信号的平均功率()()()∑∫∞=++===1222002122111nnnTbaadttfTtfP∑∑∞−∞=∞==+=nnnnFcc2122021周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。三、周期信号的频谱1、周期信号可分解为直流、基波（1ω）和各次谐波（1ωn：基波角频率的整数倍）的线性组合。2、信号的频谱为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率f（或角频率ω）为横坐标，以各次谐波的振幅nc或虚指数函数的幅度nF为纵坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。即ω~nc（或ω~nF）的关系，称为信号的幅度谱。3以各次谐波的相位nϕ为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。即ωϕ~n的关系，称为信号的相位谱。3、周期信号频谱特点周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。（1）离散性周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频谱称为离散频谱或不连续频谱。即是说：谱线沿频率轴离散分布。（2）谐波性频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率1ω的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。即是说：各谱线等距离分布，相邻谱线的距离等于基波频率。（3）收敛性各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。但是，冲激函数序列()()∑∞−∞=−=nTnTtt1δδ的频谱不满足收敛性。四、傅里叶变换（一）傅里叶变换的定义傅里叶正变换()()()jtFftftedtωω∞−−∞==∫F傅里叶逆变换()()()112jtftFFedωωωωπ∞−−∞==∫F可简记为：()()FTftFω←→（二）典型信号的傅里叶变换1、()1tδ←→2、()'tjδω←→()()()nntjδω←→3、()12πδω←→44、()()1utjπδωω←→+5、()2sgntjω←→6、()2GtSaτωττ←→7、()()ωωπωω0200GtSa↔()()2SatGπω←→8、()1ateutajω−←→+（a为正实数）9、222ataeaω−←→+（a为正实数）10、()002jteωπδωω←→−（0ω为实数）11、()()()000costωπδωωδωω←→++−12、()()()000sintjωπδωωδωω←→+−−13、()()()()000220cos2jtutπωωδωωδωωωω←→++−+−14、()()()()0000220s2intutjωπωδωωδωωωω←→+−−+−15、()()()1111jnTTnnnttnTneωδδωδωω∞∞∞−=−∞=−∞=−∞=−←→−=∑∑∑（112Tπω=）16、()2212224fttututSaτττωττ∆=−+−−←→17、()'2tjπδω←→22tω←→−5()1jSgntπω←→−()()'21tutjπδωω←→−()()2nnnndtjdπδωω←→（三）傅里叶变换的性质1、对称性若()()ftFω←→则()()2Ftfπω←→−2、线性若()()iiftFω←→（1,2,,in=）则()()11nniiiiiiaftaFω==←→∑∑其中ia为常数，为n正整数。3、奇偶虚实性若()()ftFω←→且设()()()()()jFFeRjXϕωωωωω==+()()()22FRXωωω=+，()()()arctanXRωϕωω=则（1）()ft是实函数()()RRωω=−，()()XXωω=−−()()FFωω∗−=()Fω是偶函数，()ϕω是奇函数。若()ft是实偶函数，则()Fω必为ω的实偶函数。若()ft是实奇函数，则()Fω必为ω的虚奇函数。（2）()ft是虚函数6()()RRωω=−−，()()XXωω=−()Fω是偶函数，()ϕω是奇函数。若()()ftFω←→则()()ftFω−←→−()()ftFω∗∗←→−()()ftFω∗∗−←→4、尺度变换特性若()()ftFω←→则()1fatFaaω←→（a为非零的实常数）5、时移特性若()()ftFω←→则()()00jtfttFeωω−−←→如果信号既有时移又有尺度变换则有：若()()ftFω←→a和0t为实常数，但0a≠，则()001tjafattFeaaωω−−←→6、频移特性若()()ftFω←→则()()00jtfteFωωω←→−()()()()0001cos2fttFFωωωωω←→++−()()()()000sin2jfttFFωωωωω←→+−−7、时域微分和积分特性时域微分7若()()ftFω←→则()()dftjFdtωω←→()()()nnndftjFdtωω←→时域积分若()()ftFω←→则()()()()0tFfdFjωττπδωω−∞←→+∫8、频域微分和积分特性频域微分若()()ftFω←→则()()()dFjtftdωω−←→()()()nnndFjtftdωω−←→频域积分若()()ftFω←→()()()()0ftftFdjtωπδ−∞−+←→ΩΩ∫9、时域卷积定理若()()11ftFω←→()()22ftFω←→则()()()()1212ftftFFωω∗←→10、频域卷积定理若()()11ftFω←→()()22ftFω←→8则()()()()121212ftftFFωωπ←→∗11、时域冲激抽样若()()ftFω←→则()()()()()()1sTssnnsftfttfttnTFnTδδωω∞∞=−∞=−∞==−←→−∑∑（2ssTπω=）12、频域冲激抽样若()()ftFω←→则()()12snnssnftFnπωδωωωω∞∞=−∞=−∞−←→−∑∑五、周期信号的傅里叶变换周期信号()ft的傅里叶变换为()()12nnftFnπδωω∞=−∞←→−∑其中()1112121TjntTnFftedtTω−−=∫周期信号()ft的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激位于信号的谐频（0，1ω±，12ω±，）处，每个冲激的强度等于()ft的傅里叶级数相应系数nF的π2倍。nF还可按下式求得()1011nnFFTωωω==六、抽样信号的傅里叶变换1、什么叫信号的抽样？“抽样”就是利用抽样脉冲序列()pt从连续信号()ft中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号，以()sft表示。抽样脉冲序9列()pt也称为开关函数。如果其各脉冲间隔的时间相同，均为sT，就称为均匀抽样。抽样的系统模型：)(tf()()tptftfs=)(()tp×抽样信号的傅里叶变换：()()∑∞−∞=−=nsnsnFPFωωω，其中nP是的傅里叶级数的系数。上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱()ωsF是连续信号频谱()ωF的形状以抽样频率sω为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被()pt的傅里叶系数nP所加权。因为nP只是n（而不是ω）的函数，所以()ωF在重复过程中不会使形状发生变化。2、抽样的分类根据抽样脉冲序列()pt的不同，抽样分为“矩形脉冲抽样（自然抽样）”和“冲激抽样（理想抽样）”。若抽样脉冲序列()pt为矩形脉冲序列，则这种抽样称为“矩形脉冲抽样”或“自然抽样”；若抽样脉冲序列()pt为冲激序列，则这种抽样称为“冲激抽样”或“理想抽样”。（1）时域冲激抽样设()()ftFω←→时域冲激抽样()()()()()∑∞−∞=−==nsTsnTttfttftfδδ（2ssTπω=）时域中以间隔sT冲激抽样频域中以sω为周期等幅地重复（幅度为原来的sT1）()()()∑∑∞−∞=∞−∞=−→←−nssnsnFTnTttfωωδ110（2）频域冲激抽样设()()ftFω←→频域冲激抽样()()()()∑∞−∞=−=nnFF1ωωδωωδωω（112Tπω=）时域中以11T为周期地重复频域中以间隔1ω冲激抽样()()()∑∑∞−∞=∞−∞=−→←−nnnFnTtf1111ωωδωω（3）时域矩形脉冲抽样设()()ftFω←→时域中以sT为抽样间隔，以脉幅为E、脉宽为τ的矩形脉冲抽样()()()tptftfs=，则矩形抽样信号的频谱为：()()snsssnFnSaTEFωωτωτω−=∑∞−∞=2上式表明：()ωF在以sω为周期的重复过程中幅度以2τωsnSa的规律变化。3、什么叫“频谱混叠”？一个频谱范围在~mmωω−+的频带有限连续时间信号()ft，用间隔时间sT（重复频率2ssTπω=）的冲激序列冲激抽样后得到的信号()sft的频谱()sFω。如果2smωω，那么频移后的各相邻频谱将相互重叠，这样就无法将它们分开，因而也不能再恢复原信号()ft，频谱重叠的这种现象称为“频谱混叠”。七、抽样定理（一）时域抽样定理一个频谱受限的信号()ft，如果频谱只占据~mmωω−+的范围，则信号()ft可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔必须不大于12mf（其中112mmfωπ=），或者说，最低抽样率为2mf。奈奎斯特（Nyquist）频率和奈奎斯特间隔：最低允许的抽样频率msff2=称为奈奎斯特频率。最大允许的抽样间隔msfT21=称为奈奎斯特间隔。（二）频域抽样定理一个时间受限信号()ft，它集中在~mmtt−+的时间范围内，若在频域中以不大于12mt的频率间隔对()ft的频谱()Fω进行抽样，则抽样后的频谱()1Fω可以唯一地表示原信号。