安培环路定理

§3.安培环路定理(Amperecircuitaltheorem)安培(Ampere,1775-1836)法国物理学家，电动力学的创始人。1805年担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学，1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速发展。1827年他首先推导出了电动力学的基本公式，建立了电动力学的基本理论，成为电动力学的创始人。一、安培环路定理在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的μ0倍.B内LioLIldB1、内容2IL1I3I)(31IIldBoL符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向服从右手关系时I为正，否则为负。•安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。•B的环流与仅与闭合路径内电流代数和有关,而与电流在其中的分布位置无关，但路径上磁感应强度B是闭合路径内外的电流共同产生。•安培环路定理的物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。说明:(1)包围载流直导线的圆回路,回路平面垂直于导线ILBrdldB2、证明rIB20IrdrIBdlldBlll002若回路方向与电流方向不服从右手螺旋法则:Il电流为负ldBdllIBdlldB00)(202211ddIldBldB(3)回路不包围载流导线，回路平面垂直于导线(2)围绕载流导线的任一回路.回路平面垂直于导线dIBrdBdlldB2cos0IdIldBoLoL2ILd1ld2ld1B2B0LldBILBldd(4)回路包围多根载流导线设有n个电流Ii穿过回路L(1≤i≤n),k个电流Ii不穿过回路L，ni≤n+kknBB,B21令分别为单根导线产生的磁场0iniiLBdlI0iniLBdl内LioiLiLiiLIldBldBldB)(knI1nIL1IiI1.分析磁场的对称性.若具有对称性,可用环路定理求解；2.过场点选取合适的闭合回路3.计算B的环流及闭合回路内包围的电流代数和4.最后由安培环路定理求出磁感应强度。二、安培环路定理的应用思考:若电流被L回路包围了n次.则B的环流是多少?ILLnIldB0注意:1.若环路内穿过的电流代数和为零,不能由此判断环路上的B为零；2.若环路上的B处处为零,只能说明环路内电流代数和为零；不能由此得出环路内无电流.内LioLIldB例1、求无限长圆柱面电流的磁场分布(半径为R)解:分析场结构：有轴对称性以轴上一点为圆心，取垂直于轴的平面内半径为r的圆为安培环路2,:RrrIBIIo0,0:BIRrI'dB''dB''dl'dlBdBrIrBldBoL2无限长圆柱面电流外面的磁场与电流都集中在轴上的直线电流的磁场相同例2:试求一均匀载流的无限长圆柱导体内外的磁场分布。设圆柱导体的半径为R，通以电流IB解：此电流体系磁场具有轴对称,取以轴线为中心、半径为r的圆作为积分回路LLIrBBdlL21.rR时：rIB20IrBII02,LldBr'dB''dBBd2.rR时：穿过积分回路L的电流为22rRIIIrB02220RIr202RIrBBrR0I(1)管内:取L矩形回路abcda边在轴上，两边与轴平行,另两个边垂直于轴。abBcdBabBlBabcdabLdnIBo内(2)管外:取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为零.zˆBBzI例3、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场.单位长度匝数为n.解:由于是密绕，每匝为视为圆线圈。分析知管内磁场方向平行于轴线.Pabcd∞abnII00其方向与电流满足右手螺旋.efQ0外B设螺绕环的半径为R1，R2,以平均半径R作圆为安培回路L,可得：INRBldBoL221RRRnIBon为单位长度上的匝数。10RRB螺绕环管外磁场为零。其磁场方向与电流满足右手螺旋。R/Nn2同理可求得例4、求载流螺绕环内的磁场设环很细，环的平均半径为R，总匝数为N，通有电流强度为IOLrP例5.一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度(即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)，大小为j。求平面外磁场的分布1dl1Bd2dl2BdBdBPBj解：作矩形闭合回路abcdaBBLldBdabcldBldBBl2jl020jB两侧是均匀磁场,大小相等，方向相反abcdlRO例6.半径为R的无限长直导体，内部有一与导体轴平行、半径为a的圆柱形孔洞，两轴相距为b。设导体横截面上均匀通有电流I，求(1)P点处的磁感应强度。(2)圆柱形孔洞内的磁场.解：(1)P点:设导体中电流密度方向垂直于纸面向外,电流密度大小为baP)(22aRIj补偿法：设想在空洞里同时存在密度为和的电流jja.对半径为R的无限长载流导体2012()2BRjabRjba2)(0b.对半径为a的无限长载流圆柱体jaaB2022ja20方向如图21BBBPjajba2200jb20)(2220aRbI方向竖直向上RObaP1B2BRO··1o(2)对空腔内的点:·1B002,22IrjrBrRRrJB201r2B2rb1012rJB202)(2rJBbJrrJBBB2)(2021021结论:空腔内的磁场为均匀磁场三、载流线圈与磁偶极层的等价性载流线圈的磁场:44030IrrlIdBL磁偶极层的磁场强度:04mHm代表单位面积上磁偶极矩Ω是载流线圈对场点张的立体角,上式与电偶极层外的电场04eE很相似.§4.磁场的高斯定律磁矢势一、磁感应线的特点1．磁感应线：•磁感应线上任一点切线的方向即为磁感应强度的方向。•磁感应强度的大小可用磁感应线的疏密程度表示。磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的磁感应线的数目。2、几种典型的磁感应线载流长直导线圆电流载流长螺线管3、磁感应线特性•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点；•磁感应线不相交。BI二、磁通量任意曲面的磁通量:1、磁通量定义：dSBSBdmcosd磁通量的大小等于通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目.SBmd单位:韦伯(Wb)0,2;0,2BBdSnBL闭合曲面的磁通量:SmSBd闭合曲面的法线:取外法线三、高斯定理1、内容通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。SSdB02、解释由于磁感应线是闭合的，因此对任意一闭合曲面来说，有多少条磁感应线进入闭合曲面，就一定有多少条磁感应线穿出该曲面。•磁场是无源场,非保守场；电场是有源场，保守场•磁极成对出现，不存在磁单极；存在单独正负电荷3、说明BSS证明:证明:考虑电流元磁场中的闭合曲面S.取磁感应管lId1Sd2Sd2B1B2112011201114sincos4sindSrIdldSrIdlSdBdB22022202224sincos4sindSrIdldSrIdlSdBdB21dSdS021BBdd0SdBS四、磁矢势2s021SdBSdBSdBSSS即曲面的磁通量仅由的共同边界Ｌ决定21、SSL能找到一个矢量Ａ，使SdBldASL矢量：磁场的矢势A1s取无穷远处的矢势为零,任意的有限大小的载流回路的矢势LrldIA40SdBSdBSS21说明:1.电流元的矢势dA与dl方向一致.矢势不唯一.2.此式是在选取A(∞)=0的前提下得出的,适用于电流分布在有限区域.3.此式类似于静电场rdvU041当磁场的矢势具有对称性时,可利用SdBldASL计算磁场的矢势例1.求无限长载流直导线的磁矢势.已知电流为I.IPrzA解:磁矢势方向平行于z轴.大小只与r有关.即zzerAA)(作矩形回路abcda.ab的长度为LabcdQPQraddccbbaLldAldAldAldAldAdcbaldAldALrArAQP)]()([PQrrrrBrrlIldrrIBldrSdBQPQPln2200dr)()(QPrArAPQrrIln20若选Q点的矢势为零,则PQprrIrAln2)(0讨论:两根平行的载流直导线,电流大小相等方向相反,求磁矢势.注意:若选Q点在无穷远处或导线上,磁矢势将无意义.+I-IPQPrPrPQQPrrIrArAln2)()(0PQQPrrIrArAln2)()(0选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.两式相加,得:)()(QPrArAPPQPPQrrIrrrrIln2ln200PPQPrrIrArAln2)()(0若选Q点的矢势为零,则PPPrrIrAln2)(0例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R,电流I均匀分布在横截面上,求圆柱导体内外磁矢势.IabcdrPQR解(1)圆柱外:无限长载流圆柱导体外的磁场与无限长载流直线的磁场相同,选Q点在圆柱导体的表面,作闭和回路abcda.同理)1(ln2)()(0RrRrIRArA(2)圆柱内:可把磁矢势的零点选在圆柱导体的轴线上,即A(0)=0,作闭和回路abcda.IrPabcdQRlrAlArAldAL)()]0()([rBBdrlSdB0202RIrBRrRIrrA,4)(220柱体表面矢势为4)(0IRA代入(1)式得圆柱内外矢势为)(rARrRIr,4220RrRrI,]21[ln20R例3.无限长密绕螺线管,半径为R,单位长度的匝数为n,单匝电流为I,求螺线管内外磁矢势.rPA解:以螺线管轴线为z轴建立柱坐标系,磁矢势只有φ分量.大小只与r有关.即erAA)(0)0(A取:Rr过p点作圆形回路.如图所示)(2rrAldALnIrSdBB02SLSdBldA2)(0nIrrARPr:Rr过p点作圆形回路.如图所示rnIRrA2)(20)(2rrAldALnIRSdBB02)(rARrnIr,20RrrnIR,220小结•安培环路定理•安培环路定理•安培环路定理的应用•磁通量磁场的高斯定律•磁感应线•磁通量•高斯定理