【选修2-1课件】3.10立体几何中的向量方法(3)

空间“距离”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解:6CA,4AB,8BD且,CAABBDAB,,120CABD∵CDCAABBD∴2222222CDCAABBDCAABABBDCABD2221648002682=68∴217CD答:CD的长为217.注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.nAPO2、向量法求点到平面的距离：例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.DABCGFExyz分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.果断地用坐标法处理.练习(用向量法求距离):1.如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC∴2(,,0)2MCaa,11(0,,)22MNaa,2(,0,0)2MAa解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)2aa2aaa∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴202nMCaxay且022aanMNyz解得22xyz,∴可取(2,1,1)m∴MA在n上的射影长2MAnadn即点A到平面MNC的距离为2a.APDCBMNzxynabCDABCD为a,b的公垂线则||||nABnCDA，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为的法向量3.异面直线间的距离即间的距离可转化为向量在n上的射影长，21,llCD1111013.4,,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC001BAnECn即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,,ACAC在两直线上各取点.332||||1nACndBAEC的距离与EA1B1小结1、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:n||||nEFnd2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为||||nEFndnDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxyZ11(,,1),33nB(2,0,0)E答:点B到平面EFG的距离为21111.例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.3．如图3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长d.EFEAAAAF解：22()EFEAAAAF2222()EAAAAFEAAAEAAFAAAF当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”,AAEAAAAF=π—θ（或θ），AFEA,22222lEAAAAFEAAF2222cosmdnmn2222cosdlmnmn