社会统计学(卢淑华),第六章

第六章参数估计第一节统计推论一、统计推论：根据局部资料对总体特征进行推断特点：1、局部资料的特性在某种程度上能反映总体的特征2、抽样结果不能恰好等于总体的结果二、理论基础：概率论三、内容：1、通过样本对总体的未知参数进行估计（参数估计）2、通过样本对总体的某种假设进行检验（假设检验）第二节名词解释1、总体：研究的全体2、样本与简单随机样本：从总体中按一定方式抽出的一部分叫样本。要求抽样的数据不但是随机变量而且相互独立，遵从同一分布，那么，这种样本就叫简单随机样本。▲简单随机样本有3种情况3、统计量：根据样本数据计算的统计指标称统计量。i13）样本成数1nni1nxix22）样本方差S21n1ˆPmn用样本均值：xxi用样本方差：1第三节参数的点估计作为σ的点估计值一、总体参数（均值与方差）的点估计公式1、总体均值的点估计值1nni12、总体方差的点估计值xix22nn1i1S2用标准差：Sx3、总体成数的点估计值用样本成数：表示在样本n次观测中，A类共出现m次。imni1mnp1nni1xi例：5位被调查者的月收入：A500B510C490D520E480求总体均值、方差的点估计值x的方差：Dx2样本方差S2的方差：DSn21二、评价估计值的标准1、无偏性：x的均值等于待估参数μ如果Qˆ是总体参数Q的估计值，且Qˆ分布的均值有EQˆQ，则称Qˆ是Q的无偏估计。2、有效性：1）方法：如果两个估计值Qˆ1x1x2xn及Qˆ2x1x2xn，它们都满足无偏性，那么当Qˆ1的方差比Qˆ2的方差小时，则Q1较Q2更有效。2）增加样本容量可以有效的增加一次抽样接近待估参数的概率。样本均值n24ˆ3、一致性：一个数的估计值要求随样本容量n的增大而以较大的概率去接近被估计参数的值。把样本容量为n时的估计值记作Qˆn，如果n时，Qˆn按概率收敛于总体参数Q，即对于任何正数，有：limPQQ1n则称Qˆn是Q的一致估计值。2、总体为正态分布N,，但方差为未知，统计量s第四节抽样分布已不再服从正态分布，而是服从自由度k=n-1的t分布。一、例二、样本均值的分布1、总体分布为正态分布N,2，且方差已知，样本均值自然服从正态分布。x2n3、任意总体，大样本情况，根据中心极限定理，在大样本情况下，x的分布接近于正态分布。结论：在社会现象的研究中，只要n足够大，x的分布将确定它为一个近似的正态分布。一般情况下S分布很复杂，它的精确分布22不一定能求出来。要知道它的大致形状，可通过计算机模拟的方法，从总体中随机抽取相当数目的样本，并作出样本方差的频率直方图。,——置信区间（反映估计的准确性）Q第五节正态总体的区间估计一、置信度、置信区间如果用Qˆx1x2xn作为未知参数Q的估计值，那么区间包含参数Q之概率为1的关系表达式为Q1置信度（置信概率）（置信区间估计的可靠性）显著性水平（置信区间不可靠的概率）置信区间与置信度的关系：在样本容量一定的情况下，置信区间和置信度是相互制约的。置信度愈大，则相应的置信区间也愈宽。1、为已知Px1二、正态总体均值的区间估计即:2xnN0,1以下统计量满足正态分布Z对于的双侧置信区间有PZ2ZZ2122nxnzz练习例：某地月收入状况服从正态分布，根据64人的抽样，其平均收入为800元，求置信度为0.95时的的双侧置信区间。2、为未知时当总体满足正态分布，但未知的情况Pxt2122下，以下统计量满足自由度k=n-1的t分布。xsnttn1t21的双侧置信区间有：pt代入：snxt2sn如果未知，x800接上例抽样人数为20，求置信区间。2s100.05xn1由度k=n-1的x分布：S对于给定置信度1，双侧区间x的临界px1xx1xx三、正态总体方差的区间估计对于正态总体N,2，以下统计量满足自2n12222值应满足：222221222n1s212n1s22整理：p求的置信区间。（0.05）接上例：抽样10户，收入状况如下：7908008108207807608408007508502xz1pxz第六节大样本区间估计一、大样本总体均值的区间估计ss2n2n为总体标准差，当为未知情况下，可用样本标准差代替总体标准差。n为样本容量n50z2为正态分布双侧区间的分位点。二、总体成数（二项总体参数）的估计为总体中A成数P的点估计值。（一）总体成数P的点估计如果在样本容量为n的简单随机抽样中，对于所要研究的A共出现m次，则样本成数PˆmnpˆEpˆppqnDpˆppzpppzp1z为正态分布双侧区间的分位点（二）大样本总体成数p的区间估计区间估计公式：22ppp1pn总体成数p的点估计值当p未知情况下，用p代替pp2xx1s12s22222nn区间：xxzxx,xxzxxz为正态分布双侧区间的分位点三、大样本二总体均值差的区间估计221、样本均值差为：x1x212作为总体均值差12的点估计值。2、区间估计：px1x2zx1x212x1x2zx1x2122121212121212122221、样本成数差pp为总体成数差pp的z为正态分布双侧区间的分位点pp1p2p1p212pp12p1p2四、大样本二总体成数差的区间估计点估计值。2、区间估计21212122pppp21zzp11p1p21p2n1n2p1p12p2p