2.3 距离空间的可分性与完备性

机动目录上页下页返回结束第1页•距离空间的可分性有理数在实数集中的稠密性第三节距离空间的可分性与完备性•距离空间的完备性实数的完备性•一般距离空间的完备化机动目录上页下页返回结束第2页已知：在实直线上，存在一个处处稠密的可数子集Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密的可数子集？完备性定理是否总成立？机动目录上页下页返回结束第3页一、距离空间的可分性1.距离空间中的稠密子集注:1)B在A中稠密xA,0,S(x,)内含有B中的点xA,有xB或xB′AB2)B在X中稠密xX,0,S(x,)内含有B中的点xX,有xB或xB′XBB=X定义1（稠密性)设X是距离空间，AX,BX.(1)B在A中稠密,若对于xA,{xn}B,使xnx(n)(2)B在X中处处稠密(或B是X的一个稠密子集),若对于xX,{xn}B,使xnx(n).机动目录上页下页返回结束第4页例1有理数集在R中处处稠密.例2Rn中的有理点集在Rn中稠密可数.例3多项式集合P在C[a,b]Lp[a,b]中处处稠密.(魏尔斯特拉斯一致逼近定理:x(t)C[a,b],{pn(t)}P,使pn(t)x(t)(n),即pn(t)按C[a,b]中的距离收敛于x(t).)机动目录上页下页返回结束第5页例4[a,b]上的有界可测函数集合B[a,b]在Lp[a,b](p1)中处处稠密.证:x(t)Lp[a,b],定义函数列xn(t)(n=1,2,…)是[a,b]上的有界可测函数,且有x(t)Lp[a,b]x(t)pL1[a,b]0,0,使当E0E=[a,b],m(E0)时,有N,当nN时,m(E(xn))xnx(n)B[a,b]在Lp[a,b]中稠密(L积分的绝对连续性)机动目录上页下页返回结束第6页例5[a,b]上的连续函数集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距离在Lp[a,b]中处处稠密.证:由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密,只要证明按Lp[a,b]中的距离C[a,b]在B[a,b]中稠密即可.x(t)B[a,b],x(t)K.0,=(/2K)p,y(t)C[a,b]使得m(E(x(t)y(t)))(由鲁金定理)不妨设y(t)K,E0=E(x(t)y(t))(x,y)C[a,b]在B[a,b]Lp[a,b]中稠密.机动目录上页下页返回结束第7页2.距离空间的可分性定义2(可分距离空间)设X是距离空间.X是可分距离空间,若X中存在一个处处稠密且可数的子集.注:1)AX是可分集存在稠密点列{xn}A2)X不可分X中没有任何处处稠密的可数子集。X是可分距离空间存在稠密点列{xn}X例1R是可分的.(有理数集在R中处处稠密、可数)例3多项式集合P是可分的.（有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数稠密）例2Rn是可分的.(Rn中的有理点集在Rn中稠密可数)机动目录上页下页返回结束第8页例4C[a,b]是可分的.（多项式集合P在C[a,b]中处处稠密,因而有理系数多项式集合P0在PC[a,b]中处处稠密可数）证：1)设x(t)C[a,b],由魏尔斯特拉斯一致逼近定理,0,p(t)PC[a,b],使(x,p)=max|x(t)-p(t)|/2多项式集合P在C[a,b]上稠密;有理系数多项式集合P0在多项式集合P中稠密0,p0(t)P0P,使(p,p0)=max|p(t)-p0(t)|/20,p0(t)P0PC[a,b],使(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)|p0(t)S(x,)P0按C[a,b]中距离在C[a,b]中稠密;而P0C[a,b]是可数集，因而C[a,b]可分的。机动目录上页下页返回结束第9页p0(t)S(x,)P0按Lp[a,b]中距离在Lp[a,b]中稠密;而P0是可数集，因而Lp[a,b]可分的。证设x(t)C[a,b],由上例有0,有理系数多项式p0(t)P0，使C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|/(b-a)1/p例5Lp[a,b]是可分的.（多项式集合P在C[a,b]Lp[a,b]中稠密有理系数多项式集合P0在Lp[a,b]中稠密可数）机动目录上页下页返回结束第10页例6lp(p1)与c都是可分的.（有理点集A={x=(x1,…,xn,0,…)|xiQ}在lp(p1)和c中都处处稠密）例7设X是离散距离空间,证明X可分X是可数集证：在离散距离空间中设有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。故X可分X可数。注：可见并非所有的距离空间都是可分的。机动目录上页下页返回结束第11页注：定义在任何一个势为(即不可数)非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。)2）证明m中没有可数稠密子集(反证法).设m可分A0={x=(1,2,…,n,…)||i|K}m可数,且在m中稠密A0={xk},xk=(1(k),2(k),…,n(k))A0，且AmS(xk,1/3）(k=1,2,…)A0可数,A不可x,yA,xy,并x0A0,使S(x0,1/3)x,y1=(x,y)(x,x0)+(x0,y)1/3+1/3=2/3,矛盾,故m不可分.例8有界序列空间m都是不可分的.证：1）首先证明m中存在不可数集.设A={x=(1,2…,n,…)|i=0or1}mx=(1,…,n,…)A,y=(1,…,n,…)A,(xy)(x,y)=sup|i-i|=1,[0,1]={x=0.1,2,…n…|i=0or1}~AAm不可数机动目录上页下页返回结束第12页二、距离空间的完备性1.距离空间中的基本列（或柯西列）定义3（基本列)设X是距离空间，{xn}X.{xn}是X中的基本列,若当m,n时,有xm-xn0,即对于0,N=N(),当m,nN时,有(xm,xn).注:1)距离空间中的任何收敛点列都是基本列(同实数域).事实上,{xn}X,xX,xnx0,N,当m,nN时,同时有(xn,x)/2,(xm,x)/2当m,nN时,有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x){xn}是基本列2)但距离空间中基本列未必是收敛列.(不同于实数域)例如,X=(0,1),x,yX,(x,y)=|x-y|,点列{xn}={1/(n+1)}是X中的基本列,但它在X中不收敛3)距离空间中的任何基本列都是有界列(同实数域).机动目录上页下页返回结束第13页例1R按通常距离(x,y)=|x-y|完备.(R上每个基本列都收敛)例2坐标平面上的有限点集X按通常的距离定义是完备的距离空间证:因为X中的基本列只能是“常驻点列”，即其中元素列出有：x1,x2,…,xr,xk,…xk,…,xnxk,因此X是完备的定义4(完备距离空间)X是完备距离空间,如果X中的任何基本列都收敛于X中的点.2.完备距离空间注:1)在完备的距离空间中,基本列一定是收敛的.2)X是不完备的距离空间,是指X中存在着不收敛于X内的点的基本列.机动目录上页下页返回结束第14页例3离散距离空间是完备的距离空间.证：因为离散距离空间中的基本列的元素都相同，因而收敛。例4C[a,b]按距离(x,y)=max|x(t)-y(t)|是完备距离空间.证：设{xn}C[a,b]是基本列0,N=N(),当m,nN时,有(xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|t[a,b],当m,nN时，有|xn(t)-xm(t)|x(t),使得xn(t)x(t)(一致)（柯西一致收敛定理)又xn=xn(t)C[a,b]xn(t)在[a,b]上连续x(t)在[a,b]上连续(一致收敛函数列的保连续性质)x(t)C[a,b]xC[a,b],使得xnxX是完备的。机动目录上页下页返回结束第15页例5Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.证:{x(k)}Rn为一基本列,对于i=1,2,…,n,当k,jN时,有设xi(k)xi(k)(i=1,2,…,n),令x=(x1,…,xn)Rn（k）Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.{xi(k)}是基本列,因而{xi(k)}收敛0,N,当k,jN时,有0,N,当kN,j时，有机动目录上页下页返回结束第16页例6空间Lp[a,b]、lp、l(orm)、c均为完备的距离空间。证:{x(k)}l为一基本列,对于i=1,2,…,n,…,当k,jN时,有|xi(k)xi(j)|对每个i，{xi(k)}是基本列，因而收敛。设xi(k)xi(k)(i=1,2,…,n,…),令x=(x1,…,xn,…)(下面证xl)当nN时，有x(k)lxi(k)Mk,(k=1,2,…)xixi-xi(k)+xi(k)+Mk,i=1,2,…x={x1,x2,…,xn,…)l0,N,当k,jN时,有机动目录上页下页返回结束第17页例7有理数集Q按距离(x,y)=|x-y|是距离空间,但不完备.事实上，在有理数集Q中，有理数列{(1+1/n)n}收敛,因而是基本列,但其极限为eQ，故Q不完备.例8[a,b]上实系数多项式全体P[a,b]按C[a,b]中通常的距离构成C[a,b]的子空间,但它是不完备的距离空间。事实上,存在多项式列pn(t)一致收敛于x(t):x(t)C[a,b].x(t)P[a,b](但是确实存在着不完备的距离空间)机动目录上页下页返回结束第18页例9C[0,1]按距离构成的距离空间是L1[0,1]的子空间，但它按1(x,y)不完备.(m=1,2,…){xm}C[0,1]是基本列。011/2am011/2aman证:构造函数列{xm(t)}C[0,1]:机动目录上页下页返回结束第19页如果存在x(t)使1(xm,x)0(m),由于显然x(t)C[0,1]，所以C[0,1]按距离1(x,y)不完备。可以证明{xm}在C[0,1]中按1(x,y)不收敛。机动目录上页下页返回结束第20页例10C[a,b]按距离构成的距离空间是L2[a,b]的子空间，但它按2(x,y)不完备.证:构造函数列{xn(t)}C[a,b]:|xn(t)|/2,且在[a,b]上处处有机动目录上页下页返回结束第21页（勒贝格有界收敛定理）{xn(t)}按距离2收敛于x(t){xn(t)}是距离空间(C[a,b],2)中的基本列（距离空间中的任何收敛点列都是基本列）基本列{xn(t)}的极限函数x(t)[a,b]距离空间(C[a,b],2)不完备。注证明一个距离空间X不完备，通常有两种方法：1)构造X中的一个基本列，然后说明该基本列在X中无极限；2)直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点列，该点列一定是X中的基本列。机动目录上页下页返回结束第22页定理1(完备距离空间的性质)设X是完备距离空间,1){xn}是基本列{xn}是收敛点列xX,使xnx2)FX,F是X的闭子空间F是X的完备子空间证：1）“充分性”设{xn}X,xX，xnx0,N0,当nN时,(xn,x)/2当nN,mN时,(xn,xm)(xn,x)+(x,xm){xn}是基本列“必要性”设{xn}X是基本列,X完备{xn}X是收敛点列（