7.6二阶常系数齐次线性微分方程

7.6二阶常系数齐次线性微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程的解法•n阶常系数齐次线性微分方程的解法一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy,rxey设有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy,rxey设（3）当时，042qp是一对共扼复根21,rr记为,1ir,2ir其中,2p,242pq此时,)(1xieyxiey)(2是（2）的两个线性无关的特解。问题3：如何得到实值函数的通解？欧拉公式：sincosieixiey)(1xixee)sin(cosxixexxiey)(2xixee)sin(cosxixex但他们是复数形式的解。xecxecYxxsincos21问题3：如何得到实值函数的通解？欧拉公式：sincosieixiey)(1xixee)sin(cosxixexxiey)(2xixee)sin(cosxixex)(21211yyyxexcos)(21212yyiyxexsin取由叠加原理：21,yy仍是解，且为实数形式。又xyycot21所以方程的通解为：,C有一对共轭复根,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为求二阶常系数齐次线性微分方程。（1）0'''yqypy的通解的步骤如下：第一步写出方程（1）的特征方程02qrpr（2）第二步求出特征方程（2）的两个根21rr和第三步根据特征方程（2）的两个根的不同情形，对应写出方程（1）的通解。（1）0'''yqypy02qrpr（2）042qp21,rrxrecY11xrec22042qp21rrxrexccY1)(21042qpir2,1xceYxcos(1)sin2xc特征方程（2）的根的判别式特征方程（2）的根的情形微分方程（1）的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共扼复根定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法(欧拉(Euler)指数法)..044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例1.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例2例3求微分方程032yyy的通解.解所给微分方程的特征方程为,0322rr其根3,121rr是两个不相等的实根,因此所求通解为.321xxeCeCy例4：设)cossin(21xCxCeyx解：根据通解结构，可知对应的特征方程有一对复根：,0)]1([)]1([irir为某二阶常系数齐次,11ir因此特征方程为：,0222rr所求方程为：.022yyy线性微分方程的通解，求其微分方程。,12ir三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy2211将上述所有项加在一起，就得到n阶常系数齐次线性方程的通解为特征根情形如下：,0)1(2,1r故所求通解为：解特征方程为.052)3()4(的通解求方程yyy例42重实根，故对应项为：)(210xCCex,21)2(4,3ir一对单复根，故对应项为：)2sin2cos(43xCxCex052234rrr0)52(22rrrxCC21xCCY21)2sin2cos(43xCxCex特征根为,,,154321irrirrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy例5例6：求具有特解xxxeyxeyey3,2,321解：因为,0)1()1(2rr332211ycycycy的三阶常系数齐次线性微分方程。xxxeyxeyey3,2,321线性无关故所求微分方程的通解为xxxeCxeCeC3213322113,2,cCcCcCxxeCexCC321)(故对应的特征方程有根：,12,1r,13r因此特征方程为：,0123rrr所求方程为：.0yyyy例7已知一个四阶常系数齐次线性微分方程个线性无关的特解为,2sin34xy,2cos3xy,2xxey,1xey求这个四阶微分方程及其通解.解由可知,与1y2y21rr,1它们对应的特征根为二重根由可知,与3y4y它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3ir所以特征方程为,0)4()1(22rr的四即,04852234rrrr它所对应的微分方程为,04852)4(yyyyy其通解为.2sin2cos)(4321xCxCexCCyx补充：已知某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为：212()xyCCxe其中12,CC是独立的任意常数，求该微分方程.补充练习：求一个四阶的常系数齐次线性微分方程，使之有如下四个特解：1234,,cos2,2sin2.xxyeyxeyxyx并求该微分方程的通解.四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx作业：习题12---7:1(2,4,5,6),2(1,2)