第1章-1.5.2-二项式系数的性质及应用

上一页返回首页下一页阶段一阶段二学业分层测评阶段三1.5二项式定理1.5.2二项式系数的性质及应用上一页返回首页下一页1．掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1杨辉三角的特点阅读教材P33，完成下列问题．1．每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数_____，第2项与倒数第2项的二项式系数_____，…….2．图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的____(如图1­5­1)．3．图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐_____．相等相等和增大上一页返回首页下一页4．第1行为________，第2行的两数之和为__，第3行的三数之和为___……第7行的各数之和为___(如图1­5­1)．图1­5­121＝202226上一页返回首页下一页1．如图1­5­2是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．13356571111791822189图1­5­2【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.【答案】2n－1上一页返回首页下一页2．如图1­5­3，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641……图1­5­3上一页返回首页下一页【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C13n＝2C14n，即3n！13！n－13！＝2n！14！n－14！，解得n＝34.【答案】34上一页返回首页下一页教材整理2二项式系数的性质阅读教材P33～P34，完成下列问题．(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，Cnn有如下性质：(1)Cmn＝_____；(2)Cmn＋Cm－1n＝_____；(3)当rn－12时，Crn____Cr＋1n；当rn－12时，Cr＋1n____Crn；(4)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝____.Cn－mnCmn＋12n上一页返回首页下一页1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n＝8.【答案】82．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.【导学号：29440027】【解析】二项式系数之和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝32，所以n＝5.【答案】5上一页返回首页下一页3．(2016·山东高考)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.【解析】根据二项展开式的通项公式求解．Tr＋1＝Cr5·(ax2)5－r1xr＝Cr5·a5－rx10－52r.令10－52r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C25·a3＝－80，解得a＝－2.【答案】－2上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________上一页返回首页下一页[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1­5­4，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．图1­5­4【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.上一页返回首页下一页【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.上一页返回首页下一页“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：上一页返回首页下一页[再练一题]1．(2016·镇江高二检测)如图1­5­5所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．图1­5­5上一页返回首页下一页【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－12＋1＝n2－n＋22.【答案】46n2－n＋22上一页返回首页下一页求展开式的系数和设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017·x2017(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1.①上一页返回首页下一页(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＝32017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝－1－320172.(3)∵Tr＋1＝Cr2017(－2x)r＝(－1)r·Cr2017·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＝32017.上一页返回首页下一页1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．上一页返回首页下一页[再练一题]2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.上一页返回首页下一页【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8128.上一页返回首页下一页整除问题利用二项式定理证明：当n∈N*时，32n＋2－8n－9能被64整除．【精彩点拨】当n＝1时，32×1＋2－8×1－9＝64能被64整除；当n≥2时，将32n＋2－8n－9化为(8＋1)n＋1－8n－9，按二项式定理展开，并提出因式64，若另一个因式为正整数，则能被64整除．上一页返回首页下一页【自主解答】因为n＝1时，32n＋2－8n－9＝64能被64整除；当n≥2时，32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C1n＋1·8n＋C2n＋1·8n－1＋…＋Cnn＋1·8＋1－8n－9＝82(8n－1＋C1n＋1·8n－2＋C2n＋1·8n－3＋…＋Cn－1n＋1)，而(8n－1＋C1n＋1·8n－2＋C2n＋1·8n－3＋…＋Cn－1n＋1)∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除．上一页返回首页下一页1．利用二项式证明多项式的整除问题．关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则：(1)f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除．(2)f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇔r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．上一页返回首页下一页2．求余数问题的处理方法．(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和(或差)的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项即可．(3)要注意余数的范围，a＝c·r＋b，这式子中b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数．上一页返回首页下一页[再练一题]3．若n为正奇数，则7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是________.【导学号：29440028】【解析】原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n·9n－2－…＋Cn－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1.n为奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.【答案】7上一页返回首页下一页[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为Cmn＝Cn－mn，也可以从f(r)＝Crn的图象中得到．探究2计算CknCk－1n，并说明你得到的结论．【提示】CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．上一页返回首页下一页探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．上一页返回首页下一页已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．上一页返回首页下一页【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25()3(3x2)2＝90x6，T4＝C35()2(3x2)3＝270x.上一页返回首页下一页(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x23(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－