数字逻辑电路第2章

第二章逻辑代数基础2.1概述•二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系–在二值逻辑中的变量取值：0/1，0和1表示两个对立的逻辑状态。–例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。–逻辑：事物的因果关系•逻辑运算：当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算，称之为逻辑运算。•布尔代数：进行逻辑运算的数学方法。•逻辑变量：逻辑代数中用字母表示变量，称之为逻辑变量。•数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。2.2逻辑代数中的三种基本运算与（AND）或（OR）非(NOT)•例：三种不同因果关系的电路•逻辑代数的基本运算：与（AND）、或（OR）、非(NOT)逻辑“与”•决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生–Y=AANDB=A&B=A·B=AB–以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；ABY000010100111真值表电路图形符号逻辑“或”•决定事物结果的全部条件之一具备，结果就会发生–Y=AORB=A+B–以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；ABY000011101111逻辑“非”•决定事物结果的条件不具备，结果就会发生–Y=A’=NOTA–以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；AY0110几种常用的复合逻辑运算•与非ABY001011101110几种常用的复合逻辑运算•或非ABY001010100110几种常用的复合逻辑运算•与或非ABCDY00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011111110111011100000几种常用的复合逻辑运算•异或–Y=A’B+AB’=ABABY000011101110几种常用的复合逻辑运算•同或–Y=A’B’+AB=A⊙BABY0010101001112.2逻辑代数的运算基本概念•逻辑代数的基本运算：与、或、非；•真值表：列出以0、1表示的逻辑关系的图表；•门电路：能实现逻辑运算的单元电路；•图形符号：标准认定的表示门电路的图形；•复合逻辑运算：由与、或、非逻辑组合实现的逻辑运算，常见有与非、或非、与或非、同或、异或等。2.3.1基本公式2.3.2常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式•根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式10·A=0101′=0;0′=121·A=A111+A=13A·A=A120+A=A4A·A′=013A+A=A5A·B=B·A14A+A′=16A·(B·C)=(A·B)·C15A+B=B+A7A·(B+C)=A·B+A·C16A+(B+C)=(A+B)+C8(A·B)′=A′+B′17A+B·C=(A+B)(A+C)9(A′)′=A18(A+B)′=A′·B′证明方法：推演真值表公式（17）的证明（公式推演法）：求证:A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;=A+A(B+C)+BC;AA=A=A(1+B+C)+BC;=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=A=左边公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′吸收规则:1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用该运算规则可以对逻辑式进行化简。例：CDABFEABDCDAB)('吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。2.反变量的吸收：BABAA'证明：BAABABAA''BAAABA)'(例：DEBCADCBCAA'3.混合变量的吸收：CAABBCCAAB''证明：BCAACAABBCCAAB)'(''CAABBCAABCCAAB'''例：''''ACABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB吸收2.4逻辑代数的基本定理•2.4.1代入定理------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2.4.1代入定理•应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)2.4逻辑代数的基本定理•2.4.2反演定理对任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y’。变换规则：先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变。2.4.2反演定理•应用举例：DCBDACBCADCCBAYCDCBAY))(()(变换规则：先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变。变换规则：先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变。2.4.2反演定理)()(1)()(0''DCBADCBAYCDBAY例：变换规则：先括号、然后乘、最后加；不属于单个变量上的反号应保留不变。2.4.2反演定理')')')'((()')''((CDCBAYCDCBAY例：)')''('(EDCBAY例：)''(')')''('(''EDCBAEDCBAY'')'(''''BABABABAABA﹒B0001111010110110010111110000''BA'A'B''BA可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De•Morgan)定理：2.4.2反演定理例：证明已知二变量的德·摩根定理也适用于多变量的情况。证明：已知二变量的德·摩根定理是(A+B)’=A’+B’和(AB)’=A’+B’今以（B+C）代入左边等式中B的位置，同时以(B·C)代入右边等式中B的位置，得到：(A+(B+C))’=A’∙(B+C)’=A’B’C’(A(BC))’=A’+(BC)’=A’+B’+C’以此类推，德·摩根定理也适用于更多变量的情况。2.4逻辑代数的基本定理•2.4.3对偶定理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，得到的结果就是Y对偶式YD。)'(DCABY例：)'()(DCBAYD2.5.1逻辑函数若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。Y=F(A,B,C,······)在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法•真值表•逻辑函数式•逻辑图•波形图•卡诺图•计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换•真值表输入变量ABC····输出Y1Y2····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值ABY000010100111•逻辑函数式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑函数式。•逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。•波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。例：举重裁判电路ABCY00000010010001101000101111011111)(CBAY①电路图②真值表③逻辑函数式④逻辑图各种形式的相互转换：•真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表–A=0,B=1,C=1使A′BC=1–A=1,B=0,C=1使AB′C=1–A=1,B=1,C=0使ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?Y=A’BC+AB’C+ABC’ABCY00000010010001111000101111011110•真值表逻辑函数式1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得Y。1.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y值，列表即可。•逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。)(CBAY)(BAB)(BAA))()((BABABABABABABABABAY))(())()((•真值表波形图Q1Q2Q3Y0000001001000110100010101101n变量逻辑函数的最小项m：–m是包含n个因子的乘积项–n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次对于n变量函数有2n个最小项2.5.3逻辑函数的两种标准形式最小项之和最大项之积最小项举例：•两变量A,B的最小项•三变量A,B,C的最小项）4个（22ABBABABA,,,）8个（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,,,,,,最小项的编号：最小项取值ABC对应十进制数编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA最小项的性质•在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。•全体最小项之和为1。•任何两个最小项之积为0。•两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。------相邻：仅一个变量不同的最小项如BACCBABCACBABCACBA)(与逻辑函数的最小项之和形式：•例：)7,6,3()(mBCAABCCABAABCCAB利用公式可将任何一个函数化为1AAimBCCABCBAY),,(逻辑函数最小项之和的形式：•例：CBDBCDCBADCBAY),,,(DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBA)()(..........................................................................)()(最大项：•n变量逻辑函数的最大项M–是包含n个因子的相加项；–n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。•如：两变量A,B的最大项对于n变量函数有2n个最大项）4个（22BABABABA,,,最大项的性质•在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；•全体最大项之积为0；•任何两个最大项之和为1；•只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项的编号：最大项取值对应编号ABC十进制数1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0CBACBACBACBACBACBACBACBAimYikkmYikkmY)(kikkikMmY最大项与最小项的关系：Mi=mi’2.6逻辑函数的化简法•逻辑函数的最简形式最简与或------包含的乘积项最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。CBACYACDCB