有关辗转相除法和更相减损术的问题

有关辗转相除法和更相减损术的问题探究一,辗转相除法思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的呢?算法案例之求最大公约数求以下几组正整数的最大公约数。(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示m和n的最大公约数。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有质因数2除，3912用公有质因数3除，343和4互质不除了。得：18和24最大公约数是：2×3＝6例、求18与24的最大公约数：6；8；63；8；7；短除法想一想，如何求8251与6105的最大公约数？思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大公约数是多少？你是怎样得到的？由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大公约数呢？思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=148×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的数对,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这是较小的数就是原来两个数的最大公约数辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构思考4：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？如此循环，直到得到结果。①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r。④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转向第②步继续循环执行。第一步，给定两个正整数m，n(mn).第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？程序框图开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m、n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？开始输入m，n求m除以n的余数rm=nr≠0？否输出m结束是n=rINPUTm，nWHILEr0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417二、更相减损术《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”意思是：第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个等数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.例1：用更相减损术求98与63的最大公约数.98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，因为63不是偶数，所以所以最大公约数是7.例2分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.168=93×1+75，93=75×1+18，75=18×4+3，18=3×6.辗转相除法：更相减损术:168-93=75，93-75=18，75-18=57，57-18=39，39-18=21，21-18=3，18-3=15，15-3=12，12-3=9，9-3=6，6-3=3.例4求325，130，270三个数的最大公约数.因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的最大公约数是65.因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大公约数是5.故325，130，270三个数的最大公约数是5.练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(mn).第二步，计算m-n所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.讨论:该算法的程序框图如何表示？开始输入m，nnk？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否讨论:该程序框图对应的程序如何表述？INPUTm，nWHILEm≠nk=m-nIFnkTHENm=nn=kELSEm=kENDIFWENDPRINTmEND开始输入m，nnk？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否