34节边缘分布

概率论与数理统计§3.4边缘分布广东金融学院应用数学系§3.4边缘分布3.4.1边缘分布函数二维随机向量(X,Y)作为一个整体,有分布函数F(x,y)，其分量X与Y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成FX(x)和FY(y)，分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；称F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y∞}=F(x,∞)，FY(y)=P{Y≤y}=P{X∞,Y≤y}=F(∞,y).X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是相对于(X,Y)的联合分布而言的。同样地，(X,Y)的联合分布函数F(x,y)是相对于(X,Y)的分量X和Y的分布而言的。注意:求法则X的边缘概率分布为,,2,1,)(ipxXPpjijii.,2,1,)(jpyYPpiijjjY的边缘概率分布为设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为,,2,1,,),(jiyYxXPpjiij3.4.2二维离散型随机向量的边缘分布解：YX0107/157/3017/301/15例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。,103151307}{,107307157}{2122221111jjjjpxXPppxXPp.103151307}{,107307157}{2122221111iiiipyYPppyYPpYX01pi.07/157/307/1017/301/153/10p.j7/103/101把这些数据补充到前面表上,解：例2：(打开书P59)求例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.00013+0.19987=0.20000,P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.00004+0.79996=0.80000,P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=0.00013+0.00004=0.00017,P{Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0.19987+0.79996=0.99983.把这些数据补充到例3.2.2的表中，得3.4.3连续型随机向量的边缘概率密度若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度为Y的边缘概率密度为,),()(dyyxfxfX.),()(dxyxfyfY例3：若(X,Y)服从矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则边缘概率密度分别为];,[,0],,[,1)(baxbaxabxfX].,[,0],,[,1)(dcydcycdyfY注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。例4：设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。.),(0,),(1),(DyxDyxyxf，，解:当|x|＞1时,；00),()(dydyyxfxfX当-1≤x≤1时,.12010),()(211112222xdydydydyyxfxfxxxxX(注意积分限的确定方法)熟练时，被积函数为零的部分可以不写。由X和Y在问题中地位的对称性,将上式中的x改为y，得到Y的边缘概率密度];1,1[,0],1,1[,12)(2xxxxfX故].1,1[,0],1,1[,12)(2yyyyfY例5：设(X,Y)的概率密度为.,0,0,10),2(),(其他xyxxcyyxf求(1).c的值;(2).边缘密度。=5c/24=1,c=24/5;dxdyxcyx)2(100dxdyyxf),(解:(1).dxxxc]2/)2([102解:(2)xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx,1x0注意积分限注意取值范围),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf.10y注意积分限注意取值范围.,0,10),2223(524)(2其他yyyyyfY;,0,10),2(512)(2其他xxxxfX即.21)(),()(21212)(1xXXexfdyyxfxf得，,),,,,(2121N例6：设(X,Y)求X和Y的边缘概率密度。解：由。；同理，这说明：),(~),(~222211NYNX说明对于确定的1,2,1,2,当不同时,对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。X与Y之间的关系的信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的。在下一章将指出：对于二维正态分布而言，参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度。因此，仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布)一般不能确定(X,Y)的联合概率密度函数(或概率分布)。