4同角三角函数基本关系式

xyooxyoxy若α是第三象限角，则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z.∴k·180°＋90°α2k·180°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，α2是第二象限角；当k为奇数时，α2是第四象限角．（1）若角与角的终边关于X轴对称，则（2）若角与角的终边关于Y轴对称，则（3）若角与角的终边在同一条直线上，则（4）若角与角的终边互相垂直，则03600018036001800090360设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正切，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：180°=π弧度弧长公式，面积公式10．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，求tanα的值．[解析]∵P(－x，－6)，∴r＝－x2＋－62＝x2＋36.由cosα＝－xx2＋36＝－513，得x＝52.∴tanα＝－6－52＝125.6．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sinα＋cosα的值为________．在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝2x，当x0时，r＝x2＋y2＝3x，sinα＋cosα＝yr＋xr＝23＋13＝6＋23，当x0时，r＝x2＋y2＝－3x，sinα＋cosα＝yr＋xr＝－23－13＝－6＋23.1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）三角函数定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-三角形ABC中，任意一个角的正弦值都大于0.例5.已知α∈(0，)，试证明sinααtanα.2ATNMPyxO证明：sinα=|ON|=|MP|,tanα=|AT|.又OATOAPSS扇形所以1122OAOAAT即sinααtanα.利用三角函数线证明相应结论同角三角函数的基本关系式高一数学组学习目标：1．【知识目标】（1）掌握同角三角函数的基本关系式。（2）能准确应用同角三角函数基本关系进行求值、化简、证明3.【突破方法】（1）循序渐进，层层深入（2）练习——认识——再练习2.[重点]：同角三角函数基本关系式的推导及应用[难点]：在于关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养上一：温故知新M问题2.图1中的三角函数线是：正弦线；余弦线；正切线.yxxy)0(x)0,1(ATcos；tansin；问题3.问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题1.如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，那么由三角函数的定义可知：),(yxPOxyP图1MPOMAT1（x,y）二、探究新知：问题⑵当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？1、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2当角的终边在轴上时,x110cossin22101cossin22y当角的终边在轴上时,问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）222OPOMMP122xy1cossin221α2cosα2sin(），都有结论：对于任意角R1即可以写成，点坐标可以表示为用，由勾股定理得，且三者构成直角三角形，，半径，余弦线的正弦线角POPOPOMMP平方关系sin,cos2.观察任意角的三角函数的定义,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系有什么样的关系呢？、、tancossin思考：cossintan,1cossin22②这两个公式的前提是“同角”，因此注：①商的关系不是对任意角都成立，是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立),2(Zkk③2222sinsinsinsinsin写成的平方，不能将的简写，读作是三、例题互动类型一：应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：53)54(1sin1cos22得由1cossin22所以是第二象限角因为,0cos,53cos34)35()54(cossintan07全国1的余弦值和正切值。是第二象限角，求角且、已知例,54sin1的值，求、已知变式tan,cos54sin1解：当是第一象限角时，0cos53259cos343554cossintan当是第二象限角时，0cos53259cos34)35(54cossintan自我反思：在象限决定所得结果的符号由角所得得解：由34cossintan53sin1cos54sin2得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角的值，求、已知变式cos,sin3tan2为第二或第四象限角0tan3cossin1cossin22{43sin41cos22{解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin{方程(组)思想解：cossintan讨论交流：各自的特点公式tancossin,1cossin22移项变形：2222cos1sinsin1cos{常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。注：在开方时，由角所在的象限来确定开方后的符号。即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1{sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122{cos的特点、公式tancossin2变形：tansincos由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。的值。求、已知例tan,270180,55cossin3001cossin55cossin22恒等式，得到方程组解：依题意和基本三角55cos552cos02cos5cos5,sin2或由方程解得得消去55cos,,0cos27018000所以，因为.2cossintan,552sin,于是代入原方程组得1tancossin4化简、例类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式解题思想：统一消元的思想,常用化简方法“切化弦”。1cossincossin解：原式coscossincossincostancos)1(跟踪练习：化简下列各式：22cos)tan1)(2(sin)1(答案：1)2(答案：0280sin-15化简例000280cos80cos80cos解：原式解题思路：公式变形例题6xxxxcossin1sin1cos求证证法一：证法二：0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos发散思维提问：本题还有其他证明方法吗？交流总结证明一个三角恒等式的方法注意选择最优解类型三应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式cossin1cosx-1cosxxx因为xxxxcos)sin1(coscos22xxxxcos)sin1()sin1(cos220所以，原式成立可知，由0sin10cosxx左边右边xxcossin1所以原式成立证法三：)sin1)(sin1()sin1(cosxxxxxxx2sin1)sin1(cosxxx2cos)sin1(cos三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系：利用作差法证明等式两边之差为零。注：要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）（3）证明左、右两边等于同一式子四、归纳总结：（2）三种基本题型:①三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。②化简题：一定要在有意义的前提下进行。③证明问题。（1）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkk本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法五、练习的值；，求、已知的值，求、已知cossincossin2tan2tan,cos31sin1xxx；、求证cos22sin)1(cos322