专题12 基本不等式及其应用

21230.yxyzRxyzxz已知，，，，的最小值为_______.222323029666 4433xzxyzyyxzxzxzxzxzxzxzxz由得，代入得，当且仅当时解析：取等号．2.若对任意x0，≤a恒成立，则a的取值范围是.132xxx解析：因为x0，所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号)，所以有，即的最大值为，故a≥.1x21111235313xxxxx1515231xxx23..xOyfxPQxPQ在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是______2222(4)()42.xxxxPQxx设交点为，，则解，，析：00214.4.ababyab已知＞，＞，，则的最小值是_____14114 ()214[5()]2224“”43392abababbaabababbaab由题意有解析：，当且仅当，即，时取．22412..5xyxyxyxy设，为实数，若，则的最大值是_________　222224123132221()12282.55102xyxyxyxyxyxyxxyy因为，所以，解析：的最大值是所以，即例1：(1)已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值(2)已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值(3)求y=的最小值54145x1x9y2)3(222xxax分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+(a0，b0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时．解析：(1)因为x＜，所以5-4x＞0，所以当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.54x451142451(54)3231,54yxxxx(2)因为x＞0，y＞0，+=1，所以x+y=(x+y)(+)=++10≥6+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.1xy9yx9xy1xy9yx9xy1xy9(3)=．此时，不能使用基本不等式，等号取不到．利用“对勾”函数的单调性解决，即当x=0时，得其最小值为.22222(3)(2)1222xxyxx2212(2)2xx32【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立．变式1.(1)若-4＜x＜1，则的最大值为_____；(2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为__________．(3)已知0x≤，则f(x)=sinx+的最小值为__________．22222xxx22sinx解析：(1)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+]．因为-4＜x＜1，所以-(x-1)＞0，＞0.从而[-(x-1)+]≥2，22222xxx1211)1(2xx11x11x121211x11x所以-[-(x-1)+]≤-1，当且仅当-(x-1)=，即x=2(舍)或x=0时取等号．即()max=-1.22222xxx11x11x12(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2=2=4.(3)因为0x≤，则0sinx≤1，则f(x)=sinx+在定义域上为减函数，所以[f(x)]min=f()=3.abac422sinx2例2：若x、y、z∈(0,1)，求证：++≥3.11xy11yz11zx分析：注意到三个分数的分母之和为定值3，故证明时可在不等式两边同时加3使用基本不等式，也可以通过换元法给出问题的另证．证明：证法1：++≥2+2+2-3=3，得证．11xy11yz11zx11[(1)][(1)]11xyyzxyyz1[(1)]31zxzx证法2：令a=1-x+y＞0，b=1-y+z＞0，c=1-z+x＞0，则证明原不等式等价于证明++≥3，其中a、b、c＞0，且a+b+c=3.因为(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9，即3(++)≥9，所以++≥3.1a1b1c1a1b1cbaabcaaccbbc1a1b1c1a1b1c变式2.设a、b为正实数，且a+b=1.(1)求证：ab+≥4；(2)探索、猜想：将结果填在括号内：a2b2+≥()；a3b3+≥()；(3)由(1)、(2)你能归纳出更一般的结论吗？并证明你给出的结论．221ba14ab1331ba解析：(1)因为a0，b0，所以1=a+b≥2，当且仅当a=b=时等号成立，即0ab≤.设ab=t，则t∈(0，]．141412令f(t)=t+，则问题等价于当t∈(0，]时，求f(t)的最小值．因为f′(t)=1-0在(0，]上恒成立，所以f(t)=t+在(0，]上是减函数．所以f(t)min=f()=+4=4，所以f(t)≥4，即ab+≥41t1421t141t141414ab1141414(2)a2b2+≥，a3b3+≥.(3)由(1)、(2)可归纳出一般的结论为：anbn+≥4n+(n∈N*)．证明：因为a0，b0，所以1=a+b≥2(当且仅当a=b=时等号成立)，所以0ab≤，所以0anbn≤(n∈N*)．221ba331ban41ab14n4112nnba11161616464设anbn=t，则t∈(0，]．令f(t)=t+.问题等价于当t∈(0，]时，求f(t)的最小值．因为f′(t)=1-0在(0，]上恒成立，所以f(t)=t+在(0，]上是减函数，所以f(t)min=f()=4n+，所以f(t)≥4n+，即anbn+≥4n+(n∈N*)．n41t1n4121tn41t1n41n41n41n41nnba1n41【点评】(1)利用基本不等式证明不等式时，首先要将条件和结论化简和变形，整理成可以用基本不等式的形式．(2)用基本不等式证明不等式时，仍然要注意是否有基本不等式成立的条件，但不一定要得到定值，也不一定要取到等号，因为证明不等式只需要利用条件能推出结论，而不一定要等价变形．例3：某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值；(3)若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值．分析：不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1°审题，2°建立不等式模型，3°解数学问题，4°作答．解析：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，……，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．所以每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x(元)．(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x元，所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y=(6x2-6x+600)+1.5×400=+6x+594.所以y≥2+594=714.当且仅当=6x，即x=10时，取等号．所以该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元．6006xx600x600x1x(3)按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+0.85×1.5×400x元，其中x≥15.所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y=(6x2-6x+600)+0.85×1.5×400=+6x+504(x≥15)所以=-+6.当x≥15时，0，即函数y=+6x+504在[15，+∞)上是增函数．所以当x=15时，y取最小值，最小值为+6×15+504=634(元)．1x600x'y'y2600x600x60015变式3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?解析：(1)建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+)，v∈(0，c]．svabv(2)依题意，有s，b，a，v都是正数．因此y=sb(v+)≥2s；①若≤c，则当且仅当v=⇒v=时，y取到最小值．②若≥c，则y在(0，c]上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值．综上所述，为了使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度应该为v=；当≥c时，行驶速度应该为v=c.abvabababvababababab1．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这也是最容易出错的地方．若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的证明过程中，常根据不等号的方向，结合基本不等式进行适度的放缩，以期得到需要证明的不等式．222211()(4)_______.__1_xyxyyxR设，，则的最小值为．222222222222111()(4)5424291xyxyyxxyxyxyxy因为解析，当且仅当，即时，取“：”．220112.21025____________abcaaccabaab设，则的最小值是．222221121025115115022.5011222254aaccabaabacaabababaabacabaababaabacabaab