专题12.2 离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版)

第十二章概率与统计专题2离散型随机变量的分布列、均值与方差（理科）【三年高考】1.【2017浙江，8】已知随机变量i满足P（i=1）=pi，P（i=0）=1—pi，i=1，2．若0p1p212，则A．1E()2E()，1D()2D()B．1E()2E()，1D()2D()C．1E()2E()，1D()2D()D．1E()2E()，1D()2D()2.【2017山东，理18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含1B的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.3．【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？4．【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）5．【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.6．【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.7．【2016高考新课标1卷】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5PXn,确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n与20n之中选其一,应选用哪个？8．【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．9．【2016高考天津理数】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.10.【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.1.【2015高考天津，理16】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.12.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【2017考试大纲】（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,概率与统计问题是每年高考考试的重点，离散型随机变量的分布列、均值与方差问题是高考经常考的知识点，且本部分题多为解答题.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题，解答题往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，第二问主要考查分布列、均值与方差问题，特别是离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的重点，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．根据这几年高考试题预测2018年高考，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合．【2018年高考考点定位】本节主要有离散型随机变量的分布列，超几何分布，数学期望，方差等基本公式的应用，‘试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%，且本部分题多为中低档题.从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性.【考点1】离散型随机变量的分布列【备考知识梳理】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，ab，其中,ab是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp其中01p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．其中1pPX称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{Xk}发生的概率为knkMNMnNCCPXkC，0,1,2,,km，其中min,mMn，且,,,,nNMNnMNN，称分布列为超几何分布列.X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC(3)设离散型随机变量X可能取得值为1x，2x，…，ix，…nx，X取每一个值ix(1,2,,in)的概率为iiPXxp，则称表X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式iiPXxp，1,2,,in表示X的分布列．分布列的两个性质：①0ip，1,2,,in；②121nppp.【规律方法技巧】1.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2.求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．[来源:Zxxk.Com]3.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【考点针对训练】1．【2017届黑龙江虎林一中高三月考三】随机变量X的分布列为,1,2,3,4.1cPXkkckk为常数，则1522PX的值为（）A．45B．56C.23D．342.【2017届安徽省宣城市高三第二次调研】某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1，选课不成功的同