【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5

第一章解三角形§1.1算法与程序框图第二课时余弦定理课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引1.了解余弦定理与勾股定理的区别与联系．2．理解余弦定理的推导过程．3．掌握余弦定理及其变式，用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.课前热身1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的____________的____________减去这两边与它们的夹角的余弦的____________的两倍，即a2＝__________________________，b2＝__________________________，c2＝__________________________.2．从余弦定理，可以得到它的推论：cosA＝____________________________，cosB＝____________________________，cosC＝____________________________.1.平方和积b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC自我校对2.b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab名师讲解1.余弦定理的其他证法课本使用了向量的方法推导出了余弦定理，还可以用其他方法进行证明．证法1(勾股定理法)在三角形ABC中，已知边a，b及C，求边c的长．如果C＝90°，那么可以用勾股定理求c的长；如果C≠90°，那么是否仍可以用勾股定理来解呢？很自然的想法是构造直角三角形，以便于应用勾股定理进行计算．当C为锐角时(图①)，高AD把△ABC分成两个直角三角形ADB和ADC；当C为钝角时(图②)，作高AD，则构造了两个直角三角形ADB和ADC，算出c的关键是先算出AD和BD(或DC)．考查向量AC→在向量BC→方向上的正射影数量：当C分别为锐角和钝角时，得到的两个数量符号相反；当C为直角时，其向量AC→在直角边上的正射影的数量为零．因此，不论C是锐角、钝角还是直角，都有AD＝bsinC，DC＝bcosC，BD＝a－bcosC.在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2＝AD2＋BD2＝b2sin2C＋(a－bcosC)2＝a2＋b2－2abcosC.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosA.证法2(解析法)如图，以A点为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，由两点间的距离公式得BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2，a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.证法3(用正弦定理证明)∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.∴b2＋c2－2bccosA＝4R2(sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]＝4R2[sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sinB·sinCcosBcosC]＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sinBsinCcosBcosC]＝4R2[sin2Bcos2C＋sin2Ccos2B＋2sinBsinC·cosBcosC]＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2.同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.2．使用余弦定理的注意事项(1)利用余弦定理解三角形时，要注意根据条件恰当选取公式．一般地，求边长时，使用余弦定理；求角时，使用定理的推论．(2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择．(3)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．(4)要注意正弦定理或余弦定理结合使用，同时，要注意三角公式的应用．(5)利用余弦定理求三角形内角时，一般先求小角，后求大角．(6)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理．如：已知a，b，A，可先由余弦定理求出c，即a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边c的解的个数对应三角形解的个数．3．如何判断三角形的形状问题(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系；要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．(3)常见结论：设a，b，c是△ABC的角A，B，C的对边，①若a2＋b2＝c2，则C＝90°；②若a2＋b2c2，则C90°；③若a2＋b2c2，则C90°；④若sin2A＝sin2B，则A＝B，或A＋B＝π2.课堂互动探究剖析归纳触类旁通已知两边及夹角解三角形一【例1】在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A，B和边c的值．【分析】由条件知C为边a，b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．典例剖析【解】cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理，得asinA＝csinC，sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12，∵ba，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.规律技巧本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论.已知三边解三角形二【例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【分析】解答本题可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定理求出最大角及sinC.【解】∵acb，∴A为最大角．由余弦定理变形，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝32.解法1：由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A为120°，sinC＝5314.解法2：∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114，∴C为锐角．∴sinC＝1－cos2C＝1－11142＝5314.∴最大角A为120°，sinC＝5314.规律技巧已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解.已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形三【例3】在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边长c.【分析】已知△ABC中的两边及其中一边的对角，应用余弦定理或正弦定理都可以解决问题．【解】解法1：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝45°，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝6＋c2－26c×22，即c2－23c－6＝0.解得c＝3±3.∵c0，∴c＝3＋3.解法2：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝45°，由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12.∵ba，∴BA，∴B＝30°，C＝105°.∵sinC＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.规律技巧使用正弦定理求角时，要注意讨论解的情况，舍去增根；使用余弦定理求角时，角的余弦值对应的角是唯一的．可以避免讨论．比较本例两种方法知，解法1比解法2简单，因此解题时，应根据具体情况作出选择.正弦定理、余弦定理的应用比较四【例4】△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.【分析】题目已知两边和一边的对角，要求另一边和其他的角，可首先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，亦可由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A，角C.【解】解法1：由bc，B＝30°，bcsin30°＝323，知本题有两解．∵sinC＝csinBb＝333×12＝32，∴C＝60°，或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝b2＋c2＝32＋332＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.解法2：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos30°，即a2－9a＋18＝0.∴a＝6，或a＝3.当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝6×123＝1，∴A＝90°，C＝60°.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.规律技巧比较两种解法，从中体会各自的优点，从而总结出适合自己思维的解题规律和方法.1解法1直接运用正弦定理，求出sinC＝32，注意C有两解，不要漏解.2解法2利用余弦定理，列出关于a的等量关系式建立方程，运用解方程的方法求出边长a.3在解三角形时，有时用正弦定理，有时用余弦定理，若已知两边及夹角时，可考虑使用余弦定理，先求第三边，再用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解三角形中另外的元素.易错探究在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝34，求b.【错解】由正弦定理ca＝sinCsinA＝sin2AsinA＝2cosA，∴ca＝32.又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.【错因分析】运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断．【正解】由正弦定理，得ca＝sinCsinA＝sin2AsinA＝2cosA，∴ca＝32.又a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋2012b＝34，∴b＝4，或b＝5.当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B.又C＝2A，且A＋B＋C＝π，∴A＝π4与已知cosA＝34矛盾，不合题意，舍去．当b＝5时，满足题意．∴b＝5.随堂训练1.在△ABC中，已知a＝23，b＝3，C＝30°，求c的值．解由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝(23)2＋32－2×23×3·cos30°＝3，∴c＝3.2．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝4：5：6，求△ABC的最大内角．解设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k0)，则a＋b＋c＝7.5k，解得a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k，∴a是最大的边，即角A是△ABC的最大角．由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，即最大角为120°.3．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A，C和边c.解由b2＝a2＋c2－2accosB，得2＝3＋c2－23×22c.整理得c2－6c＋1＝0.解得c＝6±22.(1)当c＝6＋22时，由ac知AC，即A为锐角．这时sinA＝asinBb＝32，∴A＝60°，从而C＝75°.(2)当c＝6－22时，由cb知CB＝45°，于是A90°，这时sinA＝asinBb＝32.∴A＝120°，从而C＝15°.4．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①又∵sinAcosC＝3cosAsinC.∴sinAcosC＋c