第7章-线性预测和最优线性滤波器

更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨预测器与格型滤波器关系更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨维纳滤波器理论及其设计方法重点和要求更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨预测器与格型滤波器关系■▲7.1线性预测的依据和特点•信号之间的关联性•系统的惯性•随机信号预测特点■▲7.1线性预测的依据和特点1.信号之间的关联性信号之所以能够预测，在于数据间存在不同程度的关联性。预测就是利用数据前后的关联性，根据其中一部分推知其余部分。显然数据间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。■▲7.1线性预测的依据和特点1.信号之间的关联性周期信号：只要知道一个周期，则以后的信号就可以按照第一个周期完全无误地预测出来。白噪声信号：由于其前后毫无关联，使预测无所依据而无法预测。平稳随机信号：均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关，可以进行预测。■▲7.1线性预测的依据和特点2.系统惯性()Hznx是有惯性的系统，因而是有色的。)(n()Hz)(nx()()xnnhn■▲7.1线性预测的依据和特点3.随机信号预测特点只能利用随机信号的统计规律作为预测的依据，也就是说随机信号之所以能够预测在于其存在某些统计上的规律。不能精确使预测误差为零，而只能从统计意义上做到最优预测，使预测误差的均方值最小。实际获得的信号是带噪声干扰的，这使得预测和滤波紧密相连，称为带滤波的预测或预测滤波。不考虑噪声干扰时的预测或不带滤波的预测为纯预测。更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨预测器与格型滤波器关系■▲7.2前向线性预测前向线性预测后向线性预测格形滤波器■▲7.2前向线性预测已知n时刻以前的p个信号数据，用这p个数据来线性预测n时刻信号的值，如图所示，预测值为(),xnp(1),,(1)xnpxn)(nx1ˆ()()()ppkxnakxnk■▲7.2前向线性预测其预测误差为(a)——称此预测器为p阶前向线性预测器。令误差的均方值最小，即求由此解得将式(a)代入上式，得2()0()ppEfnak()()01,2,,pExnifnip1ˆ()()()()()()pppkfnxnxnxnakxnk■▲7.2前向线性预测(b)由最小均方误差的表达式及正交性原理可求得最小的均方误差为(c)联立式(b)与式(c)得1()()()1,2,,pxpxkriakrikip2ˆmin[]()(()())()ffPPppEEfnExnxnfnˆ()()()()()pExnfnExnxnxn1(0)()()pxpxkrakrk■▲7.2前向线性预测(d)——前向线性预测的Wiener-Hopf方程解此方程则得p阶线性预测器的最佳参数及。11()()()1,2,,(0)()()pxpxkpfxpxPkriakrikiprakrkE()pakfPEx1xx(0)(1)()(1)(0)(1)()(1)(0)xxxxpxxrrrparrrparprpr100fpE矩阵形式■▲前向预测滤波器性质：白化性质预测滤波器是最小相位系统首先我们阐述白化性质，回忆AR过程的Yule-Walker方程：121*()()()0()0pkxkpxkxwkxarmkmqrmarmkmqrmm7.2前向线性预测■▲7.2前向线性预测（d）式与AR模型参数的正则方程式极其相似，有，成立。这说明，对于同一个p阶的AR随机信号，其AR模型和同阶的最佳线性预测器模型是等价的。所以有(f)即p阶线性预测器的输出是一个白噪声序列。()()pakak2fpwE)(nx1ˆ()()()()()()pppkfnxnxnxnakxnk1()()()()mkxnakxnkwn■▲7.2前向线性预测结论：对于给定的随机信号，若其最佳前向线性预测器的阶次等于的AR模型阶次时，其前向线性预测误差为白噪声序列。所以阶次等于AR模型阶次的最佳前向预测误差滤波器实际上是AR模型的逆系统，即白化滤波器。)(nx)(nx1()()HzAz()xn()wn-1()()HzAz()xn()wn图aAR(p)模型图b预测误差模型更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨预测器与格型滤波器关系■▲7.3后向线性预测用同一组数据来同时实现前向和后向预测，则后向预测器表示为预测误差10ˆ()()()ppkxnpbkxnk(),xn(1),,(1)xnpxn100ˆ()()()()()()()(),()1pppkpppkgnxnpxnpxnpbkxnkbkxnkbp■▲7.3后向线性预测后向预测器也可用直接型FIR滤波器结构或格型结构实现，其对应系数和前向滤波器的关系如下：预测误差可以表示为*101ˆ()()()()()()()()()pppkppkgnxnpxnpxnpbkxnkxnpakxnpk*()(),0,1,,ppbkapkkp■▲7.3后向线性预测对应的均方误差为仿照前向预测器的推导方法，最小化均方误差可导出：对应的最小均方误差和前向预测器相同。120()(0)()()pbPpxpxkEgnrbkrk1()()()1,2,,pxpxkrlakrlklp1(0)()()pbfPPxpxkEErakrk=min[]bbPPE■▲7.3后向线性预测后向预测滤波器性质：最大相位系统性质具有最小相位后向预测误差的正交性前后向预测滤波器的其他性质，教材633页*1()()pppBzzAz()pAz*0,01()(),mlbmlmEgngnElm■▲7.2前向线性预测第七章线性预测和最优线性滤波器7.3后向线性预测7.5最优化正规方程解法7.6用于滤波和预测维纳滤波器7.1线性预测的依据和特点7.4预测器与格型滤波器关系■▲7.4预测器与格形滤波器关系预测误差可以表示成直接型FIR滤波器0()()pkppkAzakz■▲7.4预测器与格形滤波器关系前后向预测误差滤波器系数之间关系的z域表示：*()(),0,1,,ppbkapkkp()()()ppGzBzXz0()()()()()pppGzGzBzXzGz*00**10()()()()()ppkkpppkkppkpppkBzbkzapkzzakzzAz■▲直接型FIR滤波器的全零点格型滤波器等效：其中为反射系数，为后向预测误差。()mgnmK7.4预测器与格形滤波器关系0011*11()()()()()(1),1,2,,()()(1),1,2,,mmmmmmmmfngnxnfnfnKgnmpgnKfngnmp■▲7.4预测器与格形滤波器关系全零点格型滤波器和前后向预测器误差的关系：■▲7.4预测器与格形滤波器关系3.格型滤波器的Z域表示相应的z变换的表达式为格型滤波器的时域表达式为0011*11()()()()()(1),1,2,,()()(1),1,2,,mmmmmmmmfngnxnfnfnKgnmpgnKfngnmp00111*111()()()()()(),1,2,,()()(),1,2,,mmmmmmmmFzGzXzFzFzKzGzmpGnKFzzGzmp■▲7.4预测器与格形滤波器关系3.格型滤波器的Z域表示它们z变换的表达式为把它们都除以X(z)得到其对应的矩阵形式为00111*111()()()()()(),1,2,,()()(),1,2,,mmmmmmmmFzGzXzFzFzKzGzmpGnKFzzGzmp00111*111()()1()()(),1,2,,()()(),1,2,,mmmmmmmmAzBzAzAzKzBzmpBnKAzzBzmp11*11()1()()()mmmmmmAzKzAzBzBzKz■▲7.4预测器与格形滤波器关系4.预测系数递推公式从上式可以推出：00111*111()()1()()(),1,2,,()()(),1,2,,mmmmmmmmAzBzAzAzKzBzmpBnKAzzBzmp11111*(1)11000()()(),1,2,,()()(1)mmmmmmmkkkmmmmkkkAzAzKzBzmpakzakzKamkz■▲7.4预测器与格形滤波器关系4.预测系数递推公式递推关系：具体如下：11111*(1)11000()()(),1,2,,()()(1)mmmmmmmkkkmmmmkkkAzAzKzBzmpakzakzKamkz*11*11(0)1,()()()()()()(),11,1,2,,mmmmmmmmmmaamKakakKamkakamamkkmmp■▲7.4预测器与格形滤波器关系5.反射系数递推公式递推公式为：详细公式为：112()()()(),1,2,,1ppmmmmmKapAzKBzAzmpK*122()()()()()()(),11()1,2,,mmmmmmmmmmmKamakKbkakamamkakKammp更多精彩，请移步：让PPT飞起来丨预测器与格型滤波器关系■▲7.5最优化正规方程解法1.正规方程前向预测误差均方值最小化得到的预测器系数为正规方程，即其对应的紧凑形式为其MMSE为1()()(),1,2,,pxpxkrlakrlklp0()()0,1,2,,(0)1ppxkpakrlklpa1min(0