2018年中考数学专题复习第十七讲等腰三角形和直角三角形

第十七讲等腰三角形和直角三角形一、等腰三角形定义有_____相等的三角形性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,___________________________________________________是它的对称轴定理1.等腰三角形的两个底角_____(简称:____________)2.等腰三角形顶角_______、底边上的中线和底边上的___相互重合(简称“三线合一”)底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线相等等边对等角平分线两边高判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也_____(简写为“___________”)相等等角对等边二、等边三角形定义_____相等的三角形性质1.等边三角形的三个内角都_____,并且每一个角都等于_____2.等边三角形是轴对称图形,并且有___条对称轴判定1.三个角都_____的三角形2.有一个角是60°的_____三角形相等60°三相等等腰三边三、线段的垂直平分线1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的___________上.相等垂直平分线四、直角三角形的性质与判定性质(1)直角三角形的两个锐角_____(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的_____(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的_____判定(1)定义法:有一个角是_____的三角形(2)两个内角_____的三角形互余一半一半直角互余五、勾股定理及逆定理1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么________.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足________,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2六、命题、定理1.互逆命题:如果两个命题的_____和_____正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______.2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为_____定理.题设结论逆命题互逆【自我诊断】(打“√”或“×”)1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合,简写成“三线合一”.()2.等边三角形是等腰三角形.()3.直角三角形斜边上的中线与斜边没有关系.()√√×4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是5.()5.以4,5,6为边长,可以构成直角三角形.()√×6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为20或16.()7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.()×√8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为36°.()√考点一等腰三角形的性质与判定【示范题1】(2017·连云港中考)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由.(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明△ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD.因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.【答题关键指导】1.判定等腰三角形的两种方法(1)运用定义从边的角度去判断.(2)运用判定定理从角的角度判断.2.等腰三角形中常用的辅助线(1)作底边的高.(2)作底边上的中线.(3)作顶角的平分线.【变式训练】1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为()A.40°B.36°C.80°D.25°【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C=x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以∠B=36°.2.(2017·烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为()A.48°B.40°C.30°D.24°【解析】选D.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.3.(2017·内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.【证明】∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.考点二等边三角形的性质与判定【示范题2】(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.【思路点拨】作AG⊥BC于点G,根据等边三角形的性质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2,根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2.33【自主解答】如图,作AG⊥BC于点G.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∴AG=AB=2.连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·DE+AC·DF=BC·AG.∵AB=AC=BC=4,323121212∴DE+DF=AG=2.答案:233【答题关键指导】活用等边三角形的性质等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.【变式训练】1.(2017·威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内的一动点,且满足∠PAB=∠ACP.则线段PB长度的最小值为________.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2,∵∠PAB=∠ACP,∴∠PAC+∠ACP=60°,∴∠APC=120°,当PB⊥AC时,PB长度最小,设垂足为点D,此时PA=PC,则AD=CD=AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°,∴PD=AD·tan30°=AD=,BD=AD=,∴PB=BD-PD=-=.答案:12123333333332332332.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED=________度.【解析】由题意得AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.答案:45考点三线段垂直平分线的性质与判定【示范题3】(2017·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段________.【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质解答即可.【自主解答】∵DE垂直平分AB,∴BE=EA.答案:BE=EA(答案不唯一)【答题关键指导】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组线段相等:①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段.(2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.【变式训练】1.(2017·宜昌中考)如图,在△AEF中,尺规作图如下:分别以点E,点F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的是()12A.AO平分∠EAFB.AO垂直平分EFC.GH垂直平分EFD.GH平分AF【解析】选C.根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线.2.(2017·益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为________.【解析】∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠B=72°,∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ACE=∠BAC=36°,∴∠BEC=72°,∴∠BEC=∠B,∴BC=CE=b,∴△ABC的周长为:AB+BC+AC=(a+b)+b+(a+b)=2a+3b.答案:2a+3b考点四勾股定理求线段的长度【考情分析】利用勾股定理求线段的长度是中考命题的一个热点,这类题常与直角三角形的性质、正方形网格、折叠、旋转、实际问题相结合.命题角度1:与直角三角形的性质相结合求线段的长度【示范题4】(2017·宿迁中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,CA,BC的中点,若CD=2,则线段EF的长是________.【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质和三角形中位线定理求解.【自主解答】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AB=4,再根据三角形中位线定理得EF=AB=2.答案:212命题角度2:利用勾股定理求正方形网格中线段的长度【示范题5】(2017·天水中考)在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为()1233A.B.C.D.2223【思路点拨】先设小正方形的边长为1,然后找个与∠B有关的Rt△ABD,利用勾股定理算出AB的长,再求出BD的长,即可求出余弦值.【自主解答】选B.设小正方形的边长为1,则AB=4,BD=4,∴cosB=242.242命题角度3:利用勾股定理解决折叠、旋转问题【示范题6】(2017·白银中考)如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:使点A与点B重合,那么折痕长等于________cm.【思路点拨】本题利用勾股定理与折叠性质即可得出结果.【自主解答】因为∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,所以由勾股定理可得AB=10cm,又因为将纸片折叠:点A与点B重合,所以∠ADE=90°,AD=5.连接BE.设AE=x,则CE=8-x,BE=x,所以(8-x)2+62=x2.解得x=,即AE=.所以DE=答案:254254222515()5.44154命题角度4:利用勾股定理求最短距离问题【示范题7】(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是________尺.【思路点拨】这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.【自主解答】如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤长为=25(尺).答案:25222015命题角度5:勾股定理的实际应用【示范题8】(2017·绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米【思路点拨】当梯子斜靠在右墙