高中数学-导数的概念课件

•1．1.2导数的概念•1．知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念．•2．能利用导数的定义求函数的导数．•本节重点：导数的定义．•本节难点：用导数的定义求函数的导数．•对导数的定义要注意：•第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；•第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不是变量；第三：函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，ΔyΔx有极限．如果ΔyΔx不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数；第四：f′(x0)的不同表达方式：y′|x＝x0＝f′(x0)＝limx→x0f(x)－f(x0)x－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.•[例1]已知自由落体的运动方程为s＝gt2，求：•(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；•(2)落体在t0时的瞬时速度；•(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度；•(4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．[分析]平均速度v即平均变化率，而瞬时速度即是平均速度v在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度，再求v当Δt→0时的极限值．[解析](1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内路程的增量为Δs＝12g(t0＋Δt)2－12gt20因此，落体在这段时间内的平均速度为：v＝ΔsΔt＝12g(t0＋Δt)2－12gt20Δt＝12g·Δt(2t0＋Δt)Δt＝12g(2t0＋Δt)．(2)落体在t0时的瞬时速度为v＝limΔt→0v＝limΔt→012g(2t0＋Δt)＝gt0.(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒时，其时间增量Δt＝t1－t0＝0.1秒，由(1)知平均速度为v＝12g(2×2＋0.1)＝2.05g≈2.05×9.8＝20.09(米/秒)．(4)由(2)知落体在t0＝2秒的瞬时速度为v＝g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．•[点评]应注意区分平均速度与瞬时速度的概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．•以初速度v0(v0＞0)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．[解析]∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt，当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.•[例2]求函数y＝x2在点x＝3处的导数．•[分析]利用导数定义求导．•[解析](1)求y在点x＝3处的增量．•取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.•(2)算比值．ΔyΔx＝6Δx＋(Δx)2Δx＝6＋Δx.(3)Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于6.因此y在点x＝3处的导数是6.•[点评]求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法．•由导数的意义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法是：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)Δx趋近于0时，若ΔyΔx趋近于一个常数，则这个常数就是函数在该点处的导数．(1)求函数y＝x在点x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在点x＝x0处的导数．[解析](1)Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1.limΔx→011＋Δx＋1＝12，所以y′|x＝1＝12.(2)y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b)Δx＝limΔx→0x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－bΔx＝limΔx→02x0Δx＋aΔx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.•[分析]已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为导数的意义．[例3]若函数f(x)在x＝a处的导数为A，求：(1)limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx；(2)limt→0f(a＋4t)－f(a＋5t)t.[解析](1)∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝A，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)Δx＝－limΔx→0f[a＋(－Δx)]－f(a)－Δx＝－A∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＋limΔx→0f(a)－f(a－Δx)Δx＝A＋A＝2A.(2)limt→0f(a＋4t)－f(a＋5t)t＝limt→0f(a＋4t)－f(a)＋f(a)－f(a＋5t)t＝4limt→0f(a＋4t)－f(a)4t－5limt→0f(a＋5t)－f(a)5t＝4A－5A＝－A.•[点评]概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，解决这类问题的关键是等价变形，使问题转化．•[答案]－2A已知f′(x0)＝A，则limΔx→0f(x0－2Δx)－f(x0)Δx＝____.[解析]limΔx→0f(x0－2Δx)－f(x0)Δx＝－2limΔx→0f[x0＋(－2Δx)]－f(x0)－2Δx＝－2A.•求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；•(2)物体的初速度v0；•(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[例4]若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝3t2＋2(t≥3)①29＋3(t－3)2(0≤t3)②.•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①物体的运动方程已知；•②求物体在某一时间段的平均速度和物体在某一时刻的瞬时速度．•解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．•[解析](1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为•Δt＝5－3＝2，•物体在t∈[3,5]内的位移变化量为•Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，•∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．•(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．•∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝f(0＋Δt)－f(0)Δt＝29＋3[(0＋Δt)－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.•(3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．•∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝f(1＋Δt)－f(1)Δt＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt－12.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的速度为－12m/s.•[点评]•如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数y＝s(t)＝t3＋3.•求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；•(2)t＝2到t＝4的平均速度；•(3)t＝4时，物体的速度v(4)．[解析](1)s(4)＝43＋3＝67.(2)t＝2到t＝4的平均速度为ΔsΔt＝s(4)－s(2)4－2＝43＋3－23－32＝64－82＝28.(3)∵ΔsΔt＝(4＋Δt)3＋3－(43＋3)Δt＝48＋12Δt＋(Δt)2，∴当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于48.∴v(4)＝48.•[答案]C一、选择题1．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)[解析]原式＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．•2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()•A．2B．－2•C．3D．－3•[答案]A[解析]f′(1)＝limx→1f(x)－f(1)x－1＝limx→1a＝a＝2.•[答案]A3．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k等于()A．－1B．－2C．1D.12[解析]limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0f[x0＋(－k)]－f(x0)－k＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选A.•二、填空题•4．自由落体运动在t＝4s的瞬时速度是________．•[答案]39.2m/s[解析]s＝12gt2ΔsΔt＝12g(t＋Δt)2－12gt2Δt＝gt＋12g·Δt＝4g＋12g·Δt.所以v＝s′(t)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4g＋12gΔt)＝4g≈4×9.8＝39.2(m/s)．•5．对于函数y＝x2，其导数等于原来的函数值的点是______________．•[答案](0,0)和(2,4)[解析]y′＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→02x·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.令2x＝x2，得x＝0或x＝2，此时y＝0或y＝4，即所求点为(0,0)和(2,4)．三、解答题6．用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．[解析]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx·(1＋1＋Δx)，∴ΔyΔx＝－11＋Δx·(1＋1＋Δx)，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx·(1＋1＋Δx)＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴f′(1)＝－12.