父爱的高度 陈颖

2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-1-选修2-21.3.2函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值2．函数y＝1＋3x－3x有()A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值33．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为04．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-2-③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是()A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为27．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为010．下列函数中，x＝0是极值点的是()A．y＝－x3B．y＝cos2xC．y＝tanx－xD．y＝1x2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-3-二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-4-17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．18．设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-5-参考答案1.[答案]C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2.[答案]D[解析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y′0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1x1时，y′0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y′0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3.[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4.[答案]C[解析]只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5.[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)0，得x2或x0，令f′(x)0，得0x2，∴①②错误．6.[答案]D[解析]f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7.[答案]A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8.[答案]D[解析]∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1令y′＝0得x＝1，当x1时，y′0，当x1时，y′0，∴函数无极值，故应选D.9.[答案]A[解析]由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.10.[答案]B2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-6-[解析]y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．二、填空题：11.[答案]1－1[解析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′0得－1x1，令y′0得x1或x－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12.[答案]a＋42a－42[解析]y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y′0，得x2或x－2，令y′0，得－2x2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13.[答案]－3－9[解析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14.[答案](－2,2)[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2a2时恰有三个不同的公共点．三、解答题：15.[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值f(－1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16.[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-7-∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.∴f′(x)＝32x2－32.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值1极小值－1由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17.[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.2013-2014学年度永城一高第一学期高二（1）部数学巩固练习（理）-8-18.[解析]本题考查了函数与导函数的综合应用．由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．