三垂线定理及其典型例题

三垂线定理aAPoα复习提问：1。直线与平面垂直的定义。2。直线与平面垂直的判定定理。3。证明线面垂直的方法。4。证明线线垂直的方法。一、射影的概念定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1叫做P在平面α内的正射影（简称射影）。.Pα1p如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。思考：1。两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何？2。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？二、平面的斜线、垂线、射影如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAOa⊥PO③结论：a⊥PO二、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。为什么呢？PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂线定理PaAoα1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线定理用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO∴a⊥POPaAoα思考：如果把定理中的条a⊥AO与结论a⊥PO互换，命题是否成立？PaAoα三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO∴a⊥AO说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直的重要方法。例题分析：1、判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。()2°定理的关键找“平面”这个参照学。强调：1°四线是相对同一个平面而言(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。()××三垂线定理2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC内，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，请同学思考：如何证明D1B⊥AB1连结A1B三垂线定理关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。即第一、找平面(基准面)及平面垂线第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。三垂线定理第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。αABCOPEF已知：∠BAC在平面α内，点在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO证明：连接PA，OE，OF∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理）∵PE=PF，PA=PA，∴RtPAE≌RtPAF。∴AE=AF又AO=AO∴，∴RtAOE≌RtAOF。∴∠BAO=∠CAO例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D的距离等于20cmBAC90°D45°三垂线定理BAC90°D45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(cm)答：电塔顶与道路的距离是25m。因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小结3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系三垂线定理AH为PA在平面ABC内的射影∴BC⊥AH在Rt△PBC中，PE=------=----在Rt△APE中，AE=PA2+PE2=9+---=----4×642+6212131441322922913例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离。APCBEH解:作PH⊥平面ABC，连AH交BC于E，连PE∵PA、PB、PC两两垂直∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC三垂线定理