转动惯量

本章将介绍一种特殊的质点系—刚体—所遵从的力学规律。它实际上就是质点系的基本原理在刚体上的应用。重点是定轴转动，重要的概念是转动惯量。刚体运动概述：刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。刚体——一种特殊质点系质点系质点刚体5.0节刚体——?个自由度自由度——为确定该力学系统的位置所需要的独立变量的个数。（若运动受到约束，自由度将减少）一个自由质点：三个自由度一个自由刚体：六个自由度三个平动自由度三个转动自由度注：不共线的三点可以确定刚体的位置（9个），而任意两个质点间的距离都保持不变（6个）。刚体的运动形式刚体运动平动转动质心运动定理刚体质心运动（平动）角动量定理刚体的取向与方位（转动）刚体运动微分方程式刚体运动积分方程式动能定理刚体的平动和转动AAcc（质点A既随质心平动又绕质心转动）作用于刚体上的力力的两种效果使质心平动绕质心转动施于刚体的力不是自由矢量FBAFBA力的作用线过质心（平动）力的作用线不过质心（平动加转动）施于刚体的力是滑移矢量作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线ABFF力沿作用线滑移不改变作用效果FFcAFd施于刚体的力等效于一作用线过质心的力（平动）和一力偶和（转动）FFF1、刚体的定轴转动:刚体中有根确定的直线始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直线称作转轴。5.1定轴转动的角量描述各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。描述刚体整体的运动用角量最方便。只有一个转动自由度。QPXXZ5.1节运动学方程：t2、定轴转动的角量描述角坐标：确定刚体的位置ddt角速度：描述转动的快慢22dddtdt角加速度：描述角速度变化的快慢xzP角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正，角速度方向可用正负号表示。加速转动方向一致减速转动方向相反rvzP02002200122ttt()如果为恒量相应公式两类基本问题已知运动方程求角速度和角加速度求导数已知角加速度求角速度和运动方程求积分rvzP刚体上任一P点线量与角量的关系：2nvrarar矢量式dvda(r)rvdtdtvr可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。naaarv即5.2转动惯量及其计算1、转动惯量：反映刚体在转动中的惯性。定义刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。（单位：）2kgm若质量连续分布2Jrdm5.2节线分布体分布面分布dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。2、转动惯量的计算：（1）质点、圆环、圆筒绕中心轴转动zoRmozRmmR2oJmR质点的转动惯量为对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距离都相同，则有2oJmR2dmrdrl232dJrdmlrdr340122RJdJlrdrRl（2）圆盘、圆柱绕中心轴转动对于质量为、半径为、厚为的均匀圆盘取半径为宽为的薄圆环，则有Rmlrdr可见，转动惯量与厚度无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量与圆盘的相同。l2mRl212JmR则有由于OZrdrRl（3）球体绕其直径的转动将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘，则有2222222212121282155ORRJdmrrdzr(Rz)dzRmR即225OJmRRzordzzm轴位于端点A：2222112llCmlmJxdxl20213lAmJxmldxl（4）求长为、质量为的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。lm取一小段，可视为质点dx轴位于中心C：ABdxlxABCdx2l2lx决定刚体转动惯量的因素：刚体的质量分布转轴的位置注意平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是2zcJJmdmRzJcJ212cJmR2221322zJmRmRmR如图所示：垂直轴定理ozyxzxyJJJ对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。例如：薄盘绕直径的转动惯量212zxyJJJmR214xyJJmR若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即组合定理iJJ1ml2mRzzJJJ杆球2221221235mlmRmlR例如：有质量为,长为的均质细杆和质量为，半径为的匀质球体组成的刚体，对Z轴的转动惯量为2m1mlR圆环：转轴通过中心与环面垂直薄圆盘：转轴通过中心与盘面垂直圆柱体：转轴沿几何轴细棒：转轴通过中心与棒垂直球体：转轴沿直径转轴沿直径圆筒：转轴沿几何轴圆柱体：转轴通过中心与几何轴垂直细棒：转轴通过端点与棒垂直球壳：转轴沿直径5.3定轴转动的基本方程5.3.1基本方程刚体作定轴转动时，一个自由度。确定刚体的位置只需一个独立变量—角坐标，因而需要一个动力学方程—角动量定理zzdLMdt5.3节5.3.2对定轴的转动定理1、对定轴的角动量vrim2ziiiLJmrJ即zLJ2、转动定理zzdLdMJJdtdt由于刚体的转动惯量为常量，所以有即zMJ当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力距。——定轴转动定律瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。与牛顿第二定律相比，地位相当。Fma在定轴转动中，和均沿转轴方位。M转动惯量是刚体绕定轴转动惯性大小的度量。3、沿定轴的角动量守恒定律当时，0zMzLJ常量对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即1212JJo1o25.3.3定轴转动的动能定理由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即21eikkAAEE1、刚体转动动能质元动能：2221122kiiiiiEmvmr刚体的转动动能：22221122kiiiiEmrmr221JEkzirivim2、内力的功为零以刚体内两质点为例，讨论一对内力的功。1212rrro1r2r1F2F12质点1：111dAFdr质点2：222dAFdr11221121112112122210FdrFdrFdrrFFdrrdrrdA)(d1212刚体rroiFiFinFirizFizFd3、力矩的功iiziziizinFFFFFFn一个外力元功为iziniiiiiiFFndsFdsFrddMdFA如图所示：设为刚体所受的任一个外力，当刚体转过角时,作用点的元位移为,沿轴方向的分力不做功，法向分力不作功，只有切向分力作功。即iFiFinFddsizF所有外力的总功为1221iMdAMd4、刚体定轴转动的动能定理力矩的功2122211122MdJJ刚体在作定轴转动的过程中，其转动动能的增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体所作的功—为定轴转动的动能定理。5、机械能守恒定律如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功，则其机械能守恒，即转动动能与势能的总和为常量。若质量为m的刚体，仅在重力场中作定轴转动，以yc表示刚体质心的竖直坐标，则机械能守恒方程为212cEJmgy常量根据柯尼希定理，则221122cccEmvJmgy常量（1）确定研究对象。（2）受力分析，确定做功的力矩。（3）确定始末两态的动能。（4）列方程求解。6、应用转动动能定理解题方法2122211122MdJJ理论依据mgom,lc例5.3.1自由摆下的杆有匀质细杆长为l，质量为m，可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自由摆动。今使杆自水平位置由静止释放，求：2）杆摆到竖直位置时，轴与杆的相互作用力。1）杆摆到位置时的角速度和角加速度；由得：MJ21123mglcosml32gcosl因为dddddtddtd所以，分离变量并积分得：00332gdcosdlgsinl解：（1）方法一，利用转动定理求，积分求。mgom,lc方法二，利用动能定理求，求导数得。重力矩作功：0AMd02lmgcosd12mglsin由动能定理：222110221123mglsinJml3gsinl本题也可用机械能守恒定律计算mgom,lc22111223mglsinml将方程两边对时间求导数得23ddgcosldtdt32dgcosdtlmgom,lcxNyN由质心运动定理得（2）当杆摆到竖直位置时，。230gl222xcxycylNmamlNmgmam由上两式解得502xyNNmg例5.3.2粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘oRm2）圆盘转动几圈后停止。1）从开始到停止所经历的时间；一半径为R的匀质圆盘，以初角速度0在摩擦系数为的水平桌面上,绕光滑质心轴转动。若转动过程中盘面与桌面始终紧密接触，求：oRmdrr解：（1）以圆盘为研究对象，将圆盘分割成无限多个圆环。每个圆环的质量为：2222mmdmdSrdrrdrRR每个圆环产生的摩擦力矩为，222mgdMdmgrrdrR阻整个圆盘产生的摩擦力矩为2202RMdMmgrdrR阻阻23mgR根据转动定律：dMJJdt000tMdtJd2000122334mRJMmRRtgg其中为常量，将上式分离变量并积分，则M200102MdJ阻220211322mgRmR（2）根据动能定理：2038Rg则转过的角度：则转过的圈数：2n20316RgxNFCOxyNAbd所示，已知刚体的质量为m、对轴转动惯量为J0，b表示质心到O点的距离。求打击中心到转轴的距离d。例5.3.3打击中心一刚体竖直悬挂于支点O且可以绕点O在竖直平面内自由转动。以水平力打击刚体的A点，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体的水平力为零，该点A称为打击中心。如图根据质心运动定理xcxFNma根据对支点O的转动定律oFdJ又因cxabA点为打击中心0xN则解得0Jdmb对于匀质细棒：212323olJmlb,dl.xNFCOxyNAbd解：5.4力学体系绕定轴转动力学体系：是指由质点、变形质点系、刚体等多个物体组成的整体。如图所示：由人、哑铃、转盘组成的力学体系。整体绕定轴转动，但其中的各个部分有的作平动，有的作转动。o解决此类问题的基本方法为：1、隔离分析法：转动体MJ转动定律平动体Fma牛顿第二定律平动体转动体找出关系式5.4节2、整体分析法：从力的角度izizdMLdt质点系的角动量定理从能的角度21eikkAAEE质点系的能动定理（角动量守恒）（机械能守恒）zizzizMMoLL常量若eikpAAAEEE保常量若例5.4.1研究阿特伍德机的运动.滑轮可看作匀质圆盘，且。求：两物体的加速度。21mm解法一：隔离分析法，取顺时针转动为正方向。由此解得21122mgmgammm1T2T2m1m1T2TmR1mg2mg11