2.5等比数列前n项和公式的推导及性质

细节决定成败态度决定一切复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa引入：印度国际象棋发明者的故事（西萨）引入新课它是以１为首项公比是２的等比数列，64S236312222.分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:23631,2,2,2,,2.64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(12222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(122222)…2346364(222222)230-1=1073741823646421S这种求和的方法,就是错位相减法!191.841018446744073709551615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211①②①—②，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；1q1q2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqqqaaSnn等比数列的前n项和公式知三求二(1)等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导(3)两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)台21.15000……第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n•1．数列{2n－1}的前99项和为()•A．2100－1B．1－2100•C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C改为数列{2n-1}呢？•2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()•A．4B．5•C．6D．7解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝a1－anq1－q＝3－96q1－q＝189，1－32q1－q＝63.解得q＝2.∴n＝6.答案：C•3．已知等比数列{an}中，an0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝1－251－2＝31.答案：31•4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)答案：13(4n－1)•5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．解析：①当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；②当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，因为q≠1，所以1－q≠0，化简得1＋q＋q2＝3q2，解得q＝－12或q＝1(舍)综上，q的值为1或－12.•已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.•[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：•(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．•各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()•A．80B．30•C．26D．16•解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列•∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)•∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6•又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)•∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)•∴S4n＝30.故选B.练习：已知数列的首项na,2,1,12,3211naaaannn（1）证明：数列是等比数列（2）求数列的前n项和11nanannS数列求和：P474P614P58P611、4、6P621、2