5、聚点内点边界点

实变函数论实变函数论实变函数论第5讲第二章n维空间中的点集1.度量空间---距离空间§1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理一、度量空间及其特例---n维欧氏空间,,,(,),(a):(,)0,(,)0;(b):(,)(,);(c):(,)((1),)(,),(,).XxyXdxyRdxydxyxydxydyxdxydxzdzyzXdxyxy∀∈∃∈≥=⇔==≤+∀∈设为一集合若对唯一的实数距离定使得非负性且对称性三角不等式对成立则称是与义间的距离：,(,),,.(2)XXd定义了距离的集合称为距离空间或度量空间记作度量空间中的元素可以称离空间：其为点距(3)例1:注1同一集合可以定义不同的距离，对应着不同的度量空间。1)nR----n维欧氏空间,其中集合12{(,,...,)|,1,2,...,}nkXxxxxRkn=∈=对任意1212(,,...,),(,,...,)nnxxxxXyyyyX=∈=∈21(,)()niiidxyxy==−∑(,)ndxyXXdR则是上的一个距离，称为欧氏距离，（,)称为欧氏空间，记为1211max||,||niiiiinidxydxy≤≤==−=−∑若令1212,),,)ddXXdXd则也是上一个距离，((也是距离空间,{()|()[,]},Xftftab=3）在上连续(),(),(,)max|()()|atbxtytXdxyxtyt≤≤∀∈=−令(,),[,]XdCab则为距离空间记为21212){{,,...,,...}|}niiXxxxxE∞∞==+∞⊂∑21,,(,)()iiixyXdxyxy∞=∀∈=−∑令2(,)Xdl是距离空间，记为为什么要定义距离呢?----因为有了距离,在距离空间中,就可以定义邻域,有了邻域,就可以定义极限.连续.导数.积分等运算,从而把数学分析的相关概念及研究思路推广到一般的距离空间中来,使得分析学有了更广泛的应用.2、度量空间中的几个概念（1）两点集间的距离：(,)dAB＝},|),(inf{BQAPQPd∈∈(2)点P到点集A的距离:{}(,)({},)inf(,)QAdPAdPAdPQ∈==00(3)(,)PNPδδ邻域点的：00{|(,),,}nPdPPPPRδ=∈(4)点集的直径:,()sup{(,)}pqAAdpqδ∈=(5)有界集:()Aδ+∞若0,,(,),(0,0,...,0)nMPAdPoMoR⇔∃∀∈≤=∈对有12{(,,...,)|,,,1,2,...,},niiiiiIxxxaxbabRin=∈=闭区（6），开区间半开间半闭区间1||()niiiIba==−∏其体积均为0007{},limlim(,)0nnnnnPPPdPPP→∞→∞=⇔=点列收敛于（）记做二.点集的诸点000,(,),CNPEPEδδ⊂（2）若存在使得则称为的外点C0000,(,),(,)NPENPEPEδδδ≠Φ≠Φ∩∩（3）若对任意的总有，则称为的界点000,(,),ENPEPδδ∩（5）若对任意总有为无穷集，则称为的聚点思考：点集的诸点与该集的所属关系如何？孤立点与界点的关系如何？内点与聚点、界点与聚点的关系任何呢？1.定义:0,nnERPR⊂∈设0010,(,),NPEPEδδ⊂（）若存在使得则称为的内点0000,(,){},NPEPPEδδ=∩（4）若存在使得则称为的孤立点2、聚点的等价定义{}0000E0(,)))nPNPEPEPPbcδδ⇔∀⇔∃为的聚点，中至少含有一个属于而异于的点中互异a于)的收敛的点列3、聚点存在定理(Bolzano-Weierstrass)定理4：nR中任意有界无穷点集必有聚点。问：任意有限集有聚点吗？－－无:)),))))abcabc⇒⇒⇒证明是显然的，下面证明1100122011min{(,),},(,),,2dPPNPPEPPPδδ=∈≠≠令则在中至少有一点2200233001min{(,),},(,),,{},lim3nnndPPNPPEPPPPPδδ→∞=∈≠=令则在中至少有一点得到使0110(,1),,NPPEPPδ∈≠令=1,则由条件在中至少有一点三.点集诸点构成的点集E′2)称E的所有聚点组成之集为E的导集，记作：1.nER⊂设定义：1）称E的所有内点组成之集为E的内部或开核，0intEE记作：或3）称E的所有界点组成之集为E的边界，记作：E∂4)EEEE′∪闭称的包为，记为5)EE如果集合的每一个点都是孤立点，则为孤立集合6)',EE=Φ如果则称为离散集2.性质：1）开核、闭包、导集的单调性：00,,,ABABABAB′′⊂⊂⊂⊂若则2）并集的导集与闭包：()ABAB′′′=∪∪ABAB=∪∪3）孤立点和离散集合的关系：离散集合都是孤立点集合，但孤立点集合不一定是离散集合1{;1,2,3}Ann==是孤立集合，但不是离散集合(1).doc[]11.01RE中，内全体有理点的所有聚点、界点和内点2222.{(,)1}RExyxy=+中点集的导集、边界、闭包Aa≤例1求例2对R中任意孤立点集A,总有A∵是孤立点集，证：,0,(,){}xxxxAxxAxδδδ∴∀∈∃−+=∩使得,,(,)(,)2222yyxxxyAxyxxyyδδδδ≠−+−+=Φ∩且当与都属于且时有xA∈对(,)22xxxrxxδδ∈−+取有理数()xxrϕ=令则此对应是A到有理数集某一子集的一个一一对应，Aa≤故小结：1、距离，距离空间2、点集E的内点、外点、孤立点、界点、聚点3、点集E的内部、边界、导集、闭包4、点集E的内部、边界、导集、闭包的性质作业：P294