2019-2018学年高中数学-第三章-统计案例模块复习课课件-北师大版选修2-3

第3章统计案例知识网络要点梳理①散点图;②2×2列联表;③χ2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑);④相关系数.知识网络要点梳理1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点散布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.2.回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是:(ⅰ)画散点图;(ⅱ)求回归直线方程;(ⅲ)用回归直线方程进行预测.(1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.知识网络要点梳理(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.设具有线性相关关系的两个变量x,y的一组观察值为(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归直线方程y=a+bx的系数为𝑏=∑𝑖=1𝑛(xi-x)(yi-y)∑i=1n(𝑥𝑖-𝑥)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2-𝑛𝑥2,𝑎=𝑦-𝑏𝑥.其中𝑥=1𝑛∑𝑖=1𝑛xi,𝑦=1𝑛∑𝑖=1𝑛yi,(𝑥,𝑦)称为样本点的中心.知识网络要点梳理(3)相关系数当r0时,表明两个变量正相关;当r0时,表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.3.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.(2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为知识网络要点梳理2×2列联表y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d构造一个随机变量χ2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d为样本容量.(3)独立性检验利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.知识网络要点梳理判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)通过回归方程y=bx+a可以估计和观测变量的取值和变化趋势.()(2)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大.()(3)由独立性检验可知,有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有99%的可能物理优秀.()答案:(1)√(2)√(3)×专题归纳高考体验专题一专题二专题一回归分析【例1】蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据:年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0专题归纳高考体验专题一专题二(1)求x与y之间的相关系数,并检验是否线性相关;(2)若线性相关,求蔬菜产量y与使用氮肥量x之间的回归直线方程,并估计每单位面积施肥150kg时,每单位面积蔬菜年平均产量.分析使用样本相关系数计算公式来完成,然后判断线性相关,再计算出a,b,利用回归方程预测产量.专题归纳高考体验专题一专题二解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:i12345678xi7074807885929095yi5.16.06.87.89.010.210.012.0xiyi357444544608.4765938.49001140i9101112131415xi92108115123130138145yi11.511.011.812.212.512.813.0xiyi1058118813571500.616251766.41885专题归纳高考体验专题一专题二𝑥=151515=101,𝑦=151.715≈10.11,∑𝑖=115xi2=161125,∑i=115𝑦𝑖2=1628.55,∑𝑖=115xiyi=16076.8.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数r=16076.8-15×101×10.11(161125-15×1012)(1628.55-15×10.112)≈0.8643.由此可以有把握认为蔬菜产量与氮肥量之间存在线性相关关系.专题归纳高考体验专题一专题二(2)设所求的回归直线方程为y=bx+a,则b=∑𝑖=115𝑥𝑖𝑦𝑖-15𝑥𝑦∑𝑖=115𝑥𝑖2-15𝑥2=16076.8-15×101×10.11161125-15×1012≈0.0937,a=𝑦-b𝑥≈10.11-0.0937×101=0.6463,所以回归直线方程为y=0.0937x+0.6463.当x=150时,y=0.0937×150+0.6463=14.7013.专题归纳高考体验专题一专题二反思感悟回归分析是对两个量进行线性相关强弱的判断及由回归直线方程,根据一个变量的值,预测或控制另一个变量的值.判断两个变量是否相关有两种方法:一是画出“散点图”;二是计算相关系数r的值.值得一提的是,在求回归直线方程进行回归分析前,一定要先判断出两个变量具有相关性,方可求回归直线方程,否则求出的回归直线方程将毫无意义.专题归纳高考体验专题一专题二跟踪训练1安徽某所中学的10名女生在高一和高二的数学成绩如下表:其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩.(1)y与x是否具有相关关系?(2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.x74717268767367706574y76757170767965776272专题归纳高考体验专题一专题二解(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算,得r=∑𝑖=110(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=110(𝑥𝑖-𝑥)2∑𝑖=110(𝑦𝑖-𝑦)2≈0.780297.所以x与y之间具有线性相关关系.(2)设回归直线方程为y=bx+a,则b=∑𝑖=110(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=110(𝑥𝑖-𝑥)2≈1.22,a=𝑦-b𝑥≈72.3-1.22×71=-14.32,所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.专题归纳高考体验专题一专题二专题二独立性检验【例2】气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比,所得数据如下表.问:它们的疗效有无差异.药效情况草药情况有效无效总计复方江剪刀草18461245胆黄片919100总计27570345专题归纳高考体验专题一专题二分析根据2×2列联表计算出χ2的值,再结合临界值即可作出合理的判断.因为χ26.635,所以我们有99%的把握认为这两种药物的疗效有差异.解根据列联表的数据可以求得χ2=345×(184×9-61×91)2275×70×245×100≈11.098.专题归纳高考体验专题一专题二反思感悟在实际问题中,经常会面临推断的问题,在对问题进行推断时,我们不能仅凭主观意愿作出结论,还需要通过抽样收集数据,并根据独立性检验的基本原理作出合理的推断.独立性检验问题的基本步骤为:(1)找相关数据,作列联表;(2)求统计量χ2;(3)判断可能性,注意与临界值作比较,得出事件有关的确信度.若χ26.635,则有99%的把握认为“X与Y有关系”;若χ23.841,则有95%的把握认为“X与Y有关系”;若χ22.706,则有90%的把握认为“X与Y有关系”;如果χ22.706,就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”.专题归纳高考体验专题一专题二(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则男生至少有多少人?(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则男生至多有多少人?跟踪训练2为检验回答一个问题的对错是否和性别有关,有人作了一个调查,其中女生人数是男生人数的12,男生答对人数占男生人数的56,女生答错人数占女生人数的23.专题归纳高考体验专题一专题二解设男生人数为x,依题意可得2×2列联表如下:答对答错总计男生5x6x6x女生x6x3x2总计xx23x2专题归纳高考体验专题一专题二(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则χ26.635.由χ2=3𝑥2·5𝑥6·𝑥3-𝑥6·𝑥62𝑥·𝑥2·𝑥2·𝑥=3𝑥86.635,解得x17.693.因为𝑥2,𝑥6,𝑥3为整数,所以若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则男生至少有18人.专题归纳高考体验专题一专题二(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则χ2≤2.706.由χ2=3𝑥2·5𝑥6·𝑥3-𝑥6·𝑥62𝑥·𝑥2·𝑥2·𝑥=3𝑥8≤2.706,解得x≤7.216.因为𝑥2,𝑥3,𝑥6为整数,所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则男生至多有6人.专题归纳高考体验123456收入x/万元8.28.610.011.311.9支出y/万元6.27.58.08.59.8考点一回归分析1.(2019·福建高考改编)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元a=𝑦-b𝑥专题归纳高考体验23456解析:∵𝑥=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,𝑦=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,∴a=𝑦-0.76𝑥=8-0.76×10=0.4.∴y=0.76x+0.4.当x=15时,y=0.76×15+0.4=11.8.答案:B1专题归纳高考体验1234562.(2019·课标Ⅱ高考)根据下面给出的2019年至2019年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2019年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2019年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2019年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2019年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关专题归纳高考体验123456解析:由柱形图知,2019年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D错误.答案:D专题归纳高考体验2345613.(2019·重庆高考改编)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y/千亿元567810(1)求y关于t的回归方程y=bt+a;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程y=bt+a中,b=∑𝑖=1𝑛tiyi-𝑛ty∑i=1n𝑡𝑖2-𝑛𝑡2,a=𝑦-b𝑡.专题归纳高考体验234561解(1)列表计算如下:itiyiti2tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n=5,𝑡=1𝑛∑𝑖=1𝑛ti=155=3,y=1n∑i=1nyi=365=7.2.专题归纳高考体验234561又ltt=∑𝑖=1𝑛𝑡𝑖2-n𝑡2=55-5×32=10,lty=∑𝑖=1𝑛tiyi-n𝑡𝑦=120-5×3×7.2=