高数微分方程习题课

1一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章2基本概念一阶方程类型1.可分离变量2.齐次方程3.可化为齐次方程4.线性方程5.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容3微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换4一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式三个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程5例1.求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示:(1),33xeyexye因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxxeyyeydd32Cxeye3316方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为732232336)4(yyxyxxy这是一个齐次方程.xyu令8例2.求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为9令y=utyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令t=x–1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为10例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf11(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee2212P353题2求以为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中13)ln(2dd)3(xyyxy提示:可化为关于x的一阶线性方程0dd)4(33yxyxxy提示:为贝努里方程,令2yz0dd)3()9(24xyxyxy提示:可化为贝努里方程令2xz14原方程化为yxxy2)10(xyxu2,即,22uuxy则xydd故原方程通解uuexd2Cueuud2d2Cuuud2122u2xuxdd2xuudd2提示:令15例4.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,h提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸),(ab)0,(aaabyxAo则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为16定解条件a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P273例3).0hyxyxddyxyxba12(齐次方程)b0PObb,dd,ddtytxvbavhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx17P354题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入t时刻车间空气中含则在],[ttt内车间内x两端除以,t并令0t与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程tk10004.0txk54005400(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为18t=30时5406.0540010006.0x2504ln180k25005400ddkxktx5412.00tx解定解问题因此每分钟应至少输入2503m新鲜空气.初始条件得k=?19二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第七章20一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解212.二阶线性微分方程的解法•常系数情形齐次非齐次代数法22解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353题3求下列微分方程的通解,01)6(2yyy.2sin52)7(xyyy提示:(6)令则方程变为,01dd2pyppy23特征根:xyyy2sin52)7(齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为代入方程可得174171,BA思考若(7)中非齐次项改为提示:xBxAy2sin2cos*故D原方程通解为)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化?24P354题4(2)求解02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?25xxCxCysincos21特征根:,2,1ir例1.求微分方程2,xxyy提示:故通解为2,04xyy满足条件解满足xyy,00xy00xy处连续且可微的解.设特解:,BAxy代入方程定A,B,得,0,000xxyy利用得26处的衔接条件可知,04yy解满足故所求解为y2,2cos)21(2sin21xxxxCxCy2cos2sin43其通解:定解问题的解:2,2cos)21(2sin21xxxy27例2.且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示:,)()(sin)(00xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得28思考:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:29的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件0)dd)(sin(dd322yxxyyx数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(2003考研)300)(dddd222yyxyxy222)(ddddyyxyyx3)(yy代入原微分方程得xyysin①(2)方程①的对应齐次方程的通解为xxeCeCY21设①的特解为,sincosxBxAy代入①得A＝0,,21B,sin21xy故从而得①的通解:31xeCeCyxxsin2121由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为xeeyxxsin2132二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义33例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht②,0v为(G为引力系数)则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R③34),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程②,得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件③,得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到35为使,0v应满足0vRMGv20因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,)sm81.9(22ggmhmMG即,2gRMG故④代入④即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为skm2.1136求质点的运动规例5.上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数提示:,d0tksFss由题设两边对s求导得:牛顿第二定律stktsmdddd2222ddddsskttmtdd2ddtsmk22ddts12Ctmk…为k),开方如何定+–?已知一质量为m的质点作直线运动,作用在质点37例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解:建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段xox下垂xm,又设链条线密度为常数,此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律,得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx38由初始条件得故定解问题的解为解得),1(舍去另一根左端当x=20m时,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?39摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为g122dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来所需时间为40yoy练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(95考研)提示:建立坐标系如图