重积分

第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D机动目录上页下页返回结束D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动目录上页下页返回结束4)“取极限”kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数(证明略)定理.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则机动目录上页下页返回结束以后总假定函数在有界闭区域D上连续。三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(机动目录上页下页返回结束特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D机动目录上页下页返回结束例2.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo机动目录上页下页返回结束xyoD注.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动目录上页下页返回结束第二节二重积分的计算法•利用直角坐标系计算•利用极坐标系计算如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.xy211xyo221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y机动目录上页下页返回结束例2.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束xy1例4改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图例5.求两个底圆半径等于R的直交圆柱所围成的立体的体积.解.建立坐标系如图,两圆柱面的方程为:,Ryx222.Rzx222由对称性知,所求体积为第一卦限部分的8倍.1VDzdxdyDdxdyxR22dyxRdxxRR220220Rdx)xR(022332R所求体积18VV3316RyxRR22xRyxyzoRRDxyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为krkrkkkr机动目录上页下页返回结束kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动目录上页下页返回结束Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动目录上页下页返回结束例6.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例7.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束例8计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaD机动目录上页下页返回结束DDrrfyxf)sin,cos(d),(则极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r机动目录上页下页返回结束axy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题1.给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy机动目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为机动目录上页下页返回结束定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx在在有界，若对任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在,),,(使得vzyxfd),,(Vf),,(V为的体积,积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束作任意分割:二、三重积分的计算（化为三次积分）xyzoD1z2z2S