重积分应用演示文稿

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第九章一.D的面积22:,DyxxyDDdd1211200()xxdxdyxxdxDDdd1为D的面积,则例：2222:1xyDab1ddDDab二、立体体积•曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为DyxyxfVdd),(•占有空间有界域的立体的体积为zyxVddd例1.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022例2.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2Oxyza2例3.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos3π16033a)cos1(3π443acos20ar0π200dsinπ20drrvdddsind2M例4MAdzdn二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220])1)1([32232R出的面积A.例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为ar球面面积元素为ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.axyzoddsina四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数.),,(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元vzyxyxd),,()(22因此物体对z轴的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),,()(22zIdxyoz对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.类似可得:zyxzyxIxddd),,(zyxzyxIoddd),,()(22zy)(22zx)(222zyx对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),,(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yxrraddsin0302例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23241aM半圆薄片的质量221aMoxyDaa的转动惯量.