2015年秋湘教版九年级数学上册课件 4.4 解直角三角形的应用(共32张PPT)

解直角三角形的应用本课内容本节内容4.4在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决.动脑筋某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地—海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？如右图所示，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．做一做如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角求出A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.40ΒAC,40ΒAC,，AC⊥BD，1600AE，如图，∵3500BD∴在Rt△ABC中，.tantan40BCBDAEBAC===ACAC-350016000.8391.AC-∴即2264(m).AC因此，A，B两点之间的水平距离AC约为2264m.例1如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.）BΑC如图，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=100m，因此.tan251000BCBC==AC答：上海东方明珠塔的高度BD为468m.从而1000tan25466.3BC（m）.因此，上海东方明珠塔的高度466.3+1.7=468BD（m）.练习1.如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离.解由图可知∠ACB=90°.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=500m，所以BC=250（m）.因此1sin.5002BCBCA===AB答：B处与河岸的距离为250m.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所形成的夹角∠ABN，∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）．2.解作AD⊥MN于D.D如图，在Rt△ABD中，∠ABD=8°，AD=1m，所以BC=BD-CD≈3.4（m）.同理CD≈3.73m.因此.1tanADABD==BDBD从而().117.12mtantan8BDABDD探究如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？如上图所示，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即hi=l（坡度通常写成1:m的形式）．坡度越大，山坡越陡．在上图中，∠BAC叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作，显然，坡度等于坡角的正切，即=tanhi=α.lαα例2如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）i=1:2如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，因此sin240BCBCα=.ACα..1tan==052α解用表示坡角的大小，由题意可得i=1∶2因此≈26.57°.α答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而（m）．240sin2657073BC..１你还可以用其他方法求出BC吗？如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？例3作CD⊥AB，交AB延长线于点D.设CD=xkm.解这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30km．如果大于30km，则安全，否则不安全．分析tanCDCAD,AD在Rt△ACD中，∵∴tantan30CDxAD.CAD同理，在Rt△BCD中，tantan30CDxAD.CAD∵ABADBD,40tan30tan60xx.∴因此，该船能继续安全地向东航行．解得203x.又203346430.,＞D1.一种坡屋顶的设计图如图所示.已知屋顶的宽度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m.求斜面AB的长度和坡角（长度精确到0.1m，角度精确到1°）.练习αα解设CB中点为D，则由图可知AD⊥BC.Dα在Rt△ABD中，1==5m.2BDBCAD=h=3.5m，..35tan075，ADαBD又由勾股定理得...222235561mAB=AD+BD所以.35α某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）.2.解由图易知∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形.在Rt△ABC中，∠CBA=55°,∠CAB=35°,sinsin35，CBCAB=AB.sinsin55ACCBA=AB所以所以CB=AB∙，CA=AB∙.sin55sin35解得AB≈162.9（km）.又CA-CB=40,sin55sin35AB∙-AB∙=40.即1.在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比？2.30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值分别是多少？小结与复习3.在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？4.锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题.已知锐角求三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值锐角的正弦、余弦、正切的定义锐角三角函数解直角三角形1.在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.2.在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和角.有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题.3.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．例中考试题∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，∴∠BCD=90°-45°=45°，∠ACD=90°-30°=60°，∵CD⊥AB，CD=100米，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=100米，在Rt△ACD中，∵CD=100米，∠ACD=60°，∴AD=CD•tan60°=100×=100（米），∴AB=AD+BD=100+100=100（+1)（米）．答：AB两点的距离是100（+1）米．解结束