三角函数相关公式推导过程以及高中数学常用公式

三角函数相关公式推导过程万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)=3sinα－4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))=4cos^3(α)－3cosα即sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosα和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)高中数学常用公式及结论1元素与集合的关系:UxAxCA,UxCAxA.AAØ2集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个.3二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)hfxaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)hk时，设为此式）(3)零点式12()()()(0)fxaxxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0xkxdfxaxa。（当已知抛物线与直线ykxd相切且切点的横坐标为0x时，设为此式）4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否定形式;原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（1n）个小于不小于至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q6四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ充要条件：(1)、pq，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；（2）、pq，且q≠p，则P是q的充分不必要条件；(3)、p≠p，且qp，则P是q的必要不充分条件；4、p≠p，且q≠p，则P是q的既不充分又不必要条件。7函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的1212,,xxDxx且，都有12()()fxfx成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的1212,,xxDxx且，都有12()()fxfx成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数单调单调性内层函数↓↑↑↓外层函数↓↑↓↑复合函数↑↑↓↓等价关系：(1)设1212,,,xxabxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0fxfxfxfx或，则f（x）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x0和x0上具有相同的单调区间；（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.偶函数：定义：在前提条件下，若有()()fxfx，则f（x）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；（2）、偶函数在x0和x0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；(4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数±偶函数=偶函数；(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．9函数的周期性：定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2mn；(3)、1()()fxmfx，此时周期为2m。10常见函数的图像：k0k0y=kx+boyxa0a0y=ax2+bx+coyx0a1a11y=axoyx11对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.12分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa（0,,amnN，且1n）.（2）11mnmnmnaaa（0,,amnN，且1n）.（3）()nnaa.（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.13指数式与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN.指数性质：(1)1、1ppaa；（2）、01a（0a）；(3)、()mnmnaa(4)、(0,,)rsrsaaaarsQ；(5)、mnmnaa；指数函数：(1)、(1)xyaa在定义域内是单调递增函数；（2）、(01)xyaa在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：(1)、logloglog()aaaMNMN；（2）、logloglogaaaMMNN；(3)、loglogmaabmb；(4)、loglogmnaanbbm；(5)、log10a0a1a11y=logaxoyx(6)、log1aa；(7)、logabab对数函数：(1)、log(1)ayxa在定义域内是单调递增函数；（2）、log(01)ayxa在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0）(3)、log0,(0,1),(1,)axaxax或(4)、log0(0,1)(1,)axax则或(1,)(0,1)ax则14对数的换底公式:logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).对数恒等式：logaNaN(0a,且1a,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0N).15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR;(4)loglog(,)mnaanNNnmRm。16平均增长率的问题（负增长时0p）：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.17等差数列：通项公式：（1）1(1)naand，其中1a为首项，d为公差，n为项数，na为末项。（2）推广：()nkaankd（3）1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1）1()2nnnaaS；其中1a为首项，n为项数，na为末项。（2）1(1)2nnnSnad（3）1(2)nnnSSan（注：该公式对任意数列都适用）（4）12nnSaaa（注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q，则有mnpqaaaa；注：若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p成等差。（2）、若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列。（3）、na为等差数列，nS为其前n项和，则232,,mmmmmSSSSS也成等差数列。（4）、,,0pqpqaqapa则；（5）1+2+3+…+n=2)1(nn等比数列：通项公式：（1）1*11()nnnaaaqqnNq，其中1a为首项，n为项数，q为公比。（2）推广：nknkaaq（3）1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1）1(2)nnnSSan（注：该公式对任意数列都适用）（2）12nnSaaa（注：该公式对任意数列都适用）（