区间估计

第三节区间估计置信区间定义正态整体均值的区间估计正态整体方差的区间估计小结引言前面，我们讨论了参数的点估计.它是本质是：用样本k阶矩代替总体k阶矩，即用样本算得的一个值去估计总体中的未知参数。但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.90%可能性包含鱼数的真实值[]也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作1，这里是一个很小的正数.9951050置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.1根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出一个尽可能小的区间，使，称区间为的置信水平为的置信区间.(,)θθ(,)θθ{}1Pθθθα1一、置信区间定义设是一个待估参数，给定满足,0X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.1和分别称为置信下限和置信上限.若由样本{}1Pθθθα12(,,,)nθθXXX12(,,,)nθθXXX()θθθθ(,)θθ，；这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量).一旦有了样本，就把估计在区间内.12(,,,)nθθXXX12(,,,)nθθXXX()θθ(,)θθ可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.(,)θθ{}Pθθθ2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.θθ.,],[,1)],...,,(),,...,,([:2121则犯错误的概率为的真值含着参数包区间因此若认为的真值的概率为包含参数区间随机解释为的区间估计的意义可以参数nnXXXXXX.1],[],,[1,的概率包含以而只能说区间的概率落入随机区间以所以不能说参数不是随机变量由于(1)构造一个已知其分布的，含有未知参数θ而不含有其他未知参数的样本函数),,,,(21nXXXWW.对于给定的置信度1,怎样根据样本来确定未知参数θ的置信区间)ˆ,ˆ(21,就是参数θ的区间估计问题.求未知参数θ的置信区间的步骤如下：(2)对给定的置信度1，根据);,,,(21nXXXW的分布定出分位点a和b，使得1),,,(21bXXXWaPn(3)从不等式bXXXWan);,,(,21中解出θ，得出其等价形式nnXXXXXX,,,ˆ,,,ˆ212211这时必有1),,,(ˆ),,,(ˆ212211nnXXXXXXP于是)ˆ,ˆ(21即为θ的置信度为1的置信区间.二、单个正态总体均值的区间估计方差。分别是样本均值和样本和样本，的一个）为来自正态总体，，设（22n21),(SXNXXX的区间估计。现考察正态总体均值设12,,,nxxxL为来自正态总体2(,)N的一个样本，其中方差2已知，x和2S分别是样本均值和样本方差。由于x是总体均值的无偏估计，选择统计量~01xuNn，对于给定的置信水平1－，查N(0,1)分位数表（附表4），得到临界值2u，使得2{}1Puu（图）（一）方差已知时总体均值的区间估计20/2u/2/2u/21或2即2{}1xPun或22{}1Pxuxunn故总体均值的置信水平为1－的置信区间为22,xuxunn也可简记为2xun。例1:设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布N(μ,0.42).现在从中抽取20只内环,其平均高度为32.3毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间.96.1)975.0(,95.01025.02/zz查表得解：算得又,20,4.0,3.32nx12.32204.096.13.322/nzx48.32204.096.13.322/nzx)48.32,12.32(%95的置信区间为的一个置信度为所以例2:已知某工厂生产的某种零件其长度)06.0,(~NX,现从某日生产的一批零件中随机抽取6只,测得直径的数据（单位:mm）为1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14试求该批零件长度的置信度为0.95置信区间.解：06.06n经计算可得95.14x,96.1025.02/uz查表得75.1496.1606.095.142/znx15.1596.1606.095.142/znx故所求置信区间为：15.15,75.14（二）方差未知时总体均值的区间估计2由于总体方差2未知，用2的无偏估计量——样本方差S2代替2，可得到统计量~1xTtnSn对于给定的置信度1－和自由度n－1，查t分布分位数表（附表6），可得到临界值21tn，使得2{1}1PTtn40/2/2t/2(n1)t/2(n1)即2{1}1xPtnSn或22{}1SSPxtxtnn故总体均值的置信水平为1－的置信区间为22,SSxtxtnn也可简记为2Sxtn。例3:设有一批胡椒粉，每袋净重X（单位：克）服从正态分布.从中任取８袋，测得净重分别为：1.12,4.121.12,9.11,3.12,4.12,9.11,1.13.试求μ的置信度为0.99的置信区间.解：这里，1-a=0.99a=0.01a/2=0.005n-1=7经计算得3882.0,527.12sx查表可得4995.3)7()1(005.02/tnt从而08.114995.380.3882275.12)1(2/ntnsx75.124995.380.3882275.12)1(2/ntnsx所以μ的置信度为0.99置信区间是75.12,08.11例4有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.μ解：这里10.95,20.025,115,ααn经计算得6.2022,503.75sx查表可得2.1315)15()1(520.02/tnt于是得到的置信水平为0.95的置信区间为：μ2((1))αsxtnn(500.4,507.1)三、单个正态总体方差的区间估计由于样本方差S2是总体方差2的无偏估计量，故选用统计量2222(1)~(1)nSn对于给定的置信度1－和自由度n－1，查2分布分位数表（附表5），可得到两个临界值22(1)n和212(1)n，使得222122{}1PxO22221-(n1)-(n1)-()x2221-3即2221222(1){}1nSP得到22222212(1)(1){}1nSnSP故总体方差的(1－)100%置信区间为：2222212(1)(1),nSnS))1()1(,)1()1((122/1222/22nSnnSn的置信区间为的置信度为这样得到了例5:设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对汽车的速度独立地作了5次测试，求得这5次测试值的方差22)/(09.0sms.求汽车速度的方差2的置信度为0.9的置信区间.解：由题意得41,1.0,9.01n查表得448.9)4()4(205.022/711.0)4()4(295.022/1算得：038.0448.909.04)1()1(22/2nsn506.0711.009.04)1()1(22/12nsn所求置信区间为(0.038,0.506)例6:设某机床加工的零件长度，),(~2NX今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间.2解：由题意得151,05.0,59.01n经计算得：00244.02s查表得：262.6)15(488.27)15(2975.02025.0算得置信区间：0058.0,0013.0)1()1(,)1()1(22/1222/2nsnnsn四、小结五.两个正态总体均值差的区间估计设有两个正态总体),(~211NX,),(~222NY，),,,(121nXXX和),,,(221nYYY是分别来自X和Y的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为,1111niiXnX21121111niiXXnS,1212njjYnY21222211njjYYnS21-1设21和22都未知，但22221由于样本函数)2(~11)(212121nntnnSYXTW其中2)1()1(212222112nnSnSnSW对于给定的置信度1-α有1)2(212/nntTP即1)2(11)(212/2121nntnnSYXPW置信区间为21212/21212/11)2(,11)2(nnSnntYXnnSnntYXWW例:随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量)(hA如下甲厂：137,138,143,141,142,138,141,144乙厂：136,142,138,140,141,138,140,139,143,142设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体),(211N，),(222N，两样本独立，若已知22221，但2未知.求21的置信度为0.95的置信区间.1199.2)16(,05.0,36.21697025.02221tsssw故21的置信度为0.95的置信区间为(-1.77,2.97))(hA.解10,821nn求得57.6,5.14021sx77.4,9.13922sy2设21和22都已知由于样本函数)1,0(~)()(22212121NnnYXU对于已给的置信度1，存在2/u，使得12/uUP2221212/2221212/,nnuYXnnuYX由此解得21的置信度为1的置信区间是例:随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量)(hA如下甲厂：137,138,143,141,142,138,141,144乙厂：136,1