2017-2018高中数学第三章节导数及其应用章末复习课新人教B选修1-1(1)

章导数及其应用章末复习课1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一在x＝x0处的导数1.定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数.2.几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线.limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx斜率知识点二导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的(简称)，f′(x)＝y′＝.导函数导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx知识点三基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝C(C为常数)y′＝__y＝xu(u∈Q*)y′＝_____y＝sinxy′＝_____y＝cosxy′＝______y＝axy′＝(a0，a≠1)0uxu－1cosx－sinxaxlnay＝exy′＝___y＝logaxy′＝(a0且a≠1，x0)y＝lnxy′＝___ex1xlna1x知识点四导数的运算法则和差的导数[f(x)±g(x)]′＝____________积的导数[f(x)·g(x)]′＝___________________商的导数f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)fxgx′＝(g(x)≠0)f′xgx－fxg′xg2x知识点五函数的单调性、极值与导数1.函数的单调性与导数如果在(a，b)内，，则f(x)在此区间内单调递增；，则f(x)在此区间内单调递减.2.函数的极值与导数已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.f′(x)0f′(x)0f(x)f(x0)极大值f(x)f(x0)极小值知识点六求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤1.求f(x)在开区间(a，b)内所有.2.计算函数f(x)在极值点和，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.极值点端点的函数值题型探究类型一导数几何意义的应用解答例1已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R).(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x0),∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1),即x＋y－2＝0.(2)求函数f(x)的极值.解答由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x0.①当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.∵当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.反思与感悟跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；解答因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.解答例2已知函数f(x)＝ax－1ex.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；类型二函数的单调性与导数解答当a＝1时，f(x)＝x－1ex，∴f′(x)＝－x＋2ex.由f′(x)0，得x2，由f′(x)0，得x2.故f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞).(2)若对任意t∈[12，2]，f(t)t恒成立，求实数a的取值范围.解答反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；解答求导得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立.即3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意.所以a的取值范围是(－∞，0].(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，0≤3x23，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意.所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).解答类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值.(1)求f(x)的表达式；解答(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值.解答反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.跟踪训练3已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；解答对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知，f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解答令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去.当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数.所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.类型四分类讨论思想解答(2)设m0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；解答(3)试证明：对∀n∈N＋，不等式ln(1＋nn)e1＋nn.证明反思与感悟(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类.(3)分类讨论的基本原则是不重不漏.设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0).∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，即当x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.跟踪训练4设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数).(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；解答f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，∴－3x2∈[－3,0).又a3，∴a－3x20，即f′(x)0.∴f(x)在(0,1]上单调递增.(2)若a3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；解答(3)是否存在a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?解答当堂训练12345y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，故y′|＝12，∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12.1.曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为A.－12B.12C.－22D.22答案解析√4x答案解析123452.如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是√由f(x)与f′(x)的关系可知选A.12345答案解析23.体积为16π的圆柱，它的半径为时，圆柱的表面积最小.设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴16π＝πr2l，即l＝16r2，则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×16r2＝2πr2＋32πr，由S′＝4πr－32πr2＝0，得r＝2.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小.由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.3123454.已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为.答案解析123455.设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；f′(x)＝ax－12x2＋32.由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.解答12345由(1)知，f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，则f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(舍去).(2)求函数f(x)的极值.解答当x∈(0,1)时，f′(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数.故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值.规律与方法1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.本课结束