高考数学冲刺专题复习之——导数(教师版)

1、高考数学（文）冲刺专题复习之——导数一、知识点梳理（一）变化率与导数、导数的运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率0000()()ylimlimxxfxxfxxx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作0()fx或0xxy，即00000()()y()limlimxxfxxfxfxxx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数0()fx的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为000()()yfxfxxx（）．3．函数f(x)的导函数称函数0()()()limxfxxfxfxx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则。

2、f′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝1xlna；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．6．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.（二）导数的应用——研究函数的单调性1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是。

3、物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性（1）在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．注意：（1）0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，∴0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。（2）0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。所以，当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。（3）0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。∴0)(xf是)(xf为增函数的必要不充。

4、分条件。（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数()fx的导数()fx；③令()0fx解不等式，得x的范围，再与定义域求交集，就是递增区间.令()0fx解不等式，得x的范围，再与定义域求交集，就是递减区间.（三）导数的应用——求函数的极值和最值1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①先确定函数定义域，再求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明。2．函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上。

5、连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）导数的应用——证明不等式1、函数类不等式证明：函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()fxgx（()()fxgx）的问题转化为证明()()0fxgx（()()0fxgx），进而构造辅助函数()()()hxfxgx，然后利用导数证明函数()hx的单调性或证明函数()hx的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。2常数类不等式证明：常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式()()fafb的问题，在根据,ab的不等式关系和函数()fx的单调性证明不等式。3、。

6、不等式恒成立问题：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mf(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．二、考点及题型考点1利用导数研究函数的图像1、如果函数()yfx的图象如右图，那么导函数'()yfx的图象可能是（A）ABCxyoxyooyxxyoD训练设函数()yfx在定义域内可导，()yfx的图象如图1所示，则导函数()yfx可能为（D）2、()fx是)(xf的导函数，()fx的图象如右图所示，则)(xf的图象只可能是（D）xyoxyO图1xyOAxyOBxyOCyODx训练设)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如图所示，则)(xfy的图象最有可能的是(C）.3、以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（C）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④训练（浙江卷）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象。

7、画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）4、（重庆文）设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是（）()fxR()fx()fx2x()yxfxyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．考点2导数几何意义的应用——切线问题1.（2015安徽文）函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则下列结论成立的是（）.A．0,0,0,0abcdB．0,0,0,0abcdC．0,0,0,0abcdD．0,0,0,0abcd解析令0x，可得0d.又232fxaxbxc，由函数fx图像的单调性，可知0a.由图可知1x，2x是0fx的两根，且10x，20x.所以121220303bxxacxxa，得00bc.故选A.2、（2015新课标2卷文）已知曲线lnyxx在点11，处的切线与曲线221yaxax相切，则a.解析根据题意，曲线lnyxx在点11，处的切线斜率为2，故切线方程为21yx，与221yaxax联立得。

8、202axax，显然0a，所以由判别式280aa得8a.评注由导数的意义求函数问题是基本的研究方法，函数问题首先要考虑定义域的范围，含有参数一般要对参数进行分类讨论.3、（2015陕西文）函数exyx在其极值点处的切线方程为____________.yxx2x1OP解析e1exxyfxxfxx，令01fxx，此时11fe.函数exyx在其极值点处的切线方程为1ey.4、（2015山东文）设函数()()lnfxxax，2()exxgx.已知曲线()yfx在点(1(1))f，处的切线与直线20xy平行.求a的值；解析由题意知，曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为2，所以12f.又ln1afxxx，所以1a.5、已知函数32()22fxxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx，求函数()fx的解析式；【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc……①又2()34fxxbxc，由已知(2)1285fbc。

9、得870bc……②联立①②，解得1,1bc.所以函数的解析式为32()22fxxxx…………………………………4分6、已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）设与在公共点处的切线相同1分由题意知，∴221()2,()3ln2fxxaxgxaxb0a(),()yfxygx1ababb()yfx()(0)ygxx00(,)xy3'()2,'()fxxgxx0000()(),'()'()fxgxfxgx200000123ln232xxxbxx由得，，或（舍去）4分即有5分考点3利用导数研究函数的单调性——已知单调性求参数的值和范围（分离参数、构造函数法）1、【2014全国2文】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,2、函数21ln(2)2yxbx在(1,)上是减函数，则b的取值范围是（C）A、[1,。

10、)B、(1,)C、(,1]D、(,1)解：（注意端点值）由题意可知'()02bfxxx在(1,)x上恒成立，即(2)bxx在(1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，故选C3、已知函数上是增函数，求实数a的取值范围；解：（I）……………………………………2分0032xx01x03x52b),1()4(ln21)(2在xaxxxf.41)(axxxf.2)1(4),,1(21.)1(4,),1(041,),1()(xxxxxxxaaxxxf等号成立时当且仅当恒成立即上恒成立在上是增函数在所以…………………………………………………5分训练已知函数,，其中R．（Ⅰ）当1a时判断的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；解：（Ⅰ）的定义域为，且21)(xxxf0所以f(x)为增函数。（Ⅱ），的定义域为因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以。。。8分4、设()1xefxax，其中a为正实数，若()fx为R。