3.1.1--两角差的余弦公式

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式1.理解两角差的余弦公式及推导过程；3.掌握“变角”和“拆角”的方法.2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值；某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度.BDAC6045°150,tan6060cos15,60sin15.CDBDBCBDABABBCcos15?sin15?对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.若为两个任意角,则成立吗?，cos()coscos60,30,30)coscos30.令显然cos(6060两角差的余弦公式的推导154530,cos15coscos=(45-30).(45-30)=？PP1OxyABCM如图，设角为锐角，且，，1PMxPAOP作轴，，cos()cossincoscossinsin.OMOBBMOAAP法一（三角函数线）要获得的表达式需要哪些已学过的知识？cos()涉及三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式.cossincossinOAOB，，,,cos()cos().OAOBOAOBcoscossinsin.OAOBBAαβ1-1yxo在单位圆中cos()coscossinsin.法二（向量法）对于任意,有，cos()coscossinsin.称为差角的余弦公式，简记为().C说明：1.公式中两边的符号正好相反.2.公式右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后.两角差的余弦公式1.例利用差角余弦公式求cos15的值公式的运用coscoscos45cos30sin45sin30解法115（45-30）=2321222262.4完成本题后，你会求的值吗？coscoscoscos45sin60sin45解法215（60-45）=60sin7526sin75cos15.41232222226.4变式练习：1．cos345°的值等于()A.2－64B.6－24C.2＋64D．－2＋642．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为()A．0B.12C.32D．－123.cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________452sin,(,),cos,5213cos().例已知是第三象限角，求的值cos(),分析要计算应作：哪些准备？24sin,(,),5231sin;5解：由得cos=-cos()coscossinsin35412()()51351333.65（）25cos,1312sin1cos.13又由是第三象限角，得变式:已知α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．思路分析：可先求cos(α－β)的值，再求角α－β.解：∵α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵0απ2，0βπ2.∴－π2α－βπ2.又∵sinαsinβ，∴αβ，即α－β0.∴－π2α－β0.∴α－β＝－π4.先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值.提升总结coscossinsincos().公式的逆用:13coscos()0,252cos.例4已知=，=-，,求coscos().拆角思想提：:示13cos0,sin,222解：由=，得3cos()0,545.由=-，得sin(+)=coscos()cos()cossin()sin3143343.525210利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合.即公式的变用.变式已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.求β.解：由cosα＝17，0απ2，得sinα＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.31.).233已知cos=，，2，求cos(5223cos2sin1cos13解：=，，253455cos()coscossinsin33313343().221034552.cos53cos23sin53sin23求值：（1）；cos80cos35cos10cos55.（2）3cos5323)cos30.2解：(1)原式((2)cos80cos35sin80sin352cos(8035)cos45.2原式5(,).2336125cos()sin().313313解：（0，），，12.cos(),cos.3133已知为锐角，求coscos[()]33cos()cossin()sin3333121531253.13213226cos()coscossinsin1.两角差的余弦公式：2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.，（）33（）12．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A0,0φπ)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M(π3，12)．(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈(0，π2)，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．创新题型解：（1）由已知得A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．由已知得f(π3)＝12，则sin(π3＋φ)＝12.又0φπ，则π3π3＋φ4π3.所以π3＋φ＝5π6，则φ＝π2，即f(x)＝sin(x＋π2)＝cosx.(2)由(1)得cosα＝35，cosβ＝1213.又α，β∈(0，π2)，则sinα＝1－cos2α＝45，sinβ＝1－cos2β＝513.所以f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×1213＋45×513＝5665.长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎。——布朗