数学命题及其教学

数学命题及其教学数学命题概述数学命题学习的心理分析命题教学的基本要求和教法探讨数学命题概述判断的意义和种类1.数学判断对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做“判断”。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。按照思维对象的量，判断可分为：全称判断、特称判断、单称判断；按判断的质来分有：肯定判断、否定判断；按判断的关系来分有：定言判断、选言判断和假言判断。2.常用的判断形式及其之间的关系如果用S表示判断的对象，P表示性质（1）全称肯定判断“所有的S是P”（2）全称否定判断“所有的S都不是P”（3）特称肯定判断“有的S是P”（4）特称否定判断“有的S不是P”S也叫做判断的“主项”，P也叫做“谓项”，“所有的”或“有的”表示主项的数量，叫做“量词”，在全称判断中量词常常省略不写；“是”或“不是”称为联结词，表示肯定或否定。SAPSIPSOPSEP反对关系矛盾关系下反对关系差等关系差等关系系关矛盾数学命题的意义在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做“数学命题”。通常用“p,q,r,s,t···”来表示，并且称为命题变量（变项）。对于无法判断其真假的语句，称为开（语）句。注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。如在形式逻辑中，命题“如果13,那么1+23+2.”√但在数学中×请大家判断以下语句是否是数学命题：（1）数学是一门科学；（2）；（3）63;（4）x+5=9;（5）x7;（6）你在干什么？（7）禁止吸烟！（8）2比3大吗？（9）哎呀！那还得了！12复合命题与逻辑联结词数学命题一般可分为简单命题和复合命题两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性质命题和关系命题两种。象“一切矩形都是平行四边形”、“自然数不是无理数”、“有些奇数是素数”等都是性质命题；象“一切正数都大于零”、“直线a平行于直线b”等都是关系命题。复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻辑联结词结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价1.否定（非），其真值表如下：pp和不是直角是直角ApAp::0110pp5:5:xqxq2.合取（与，且）qp合取qp100010101100pqqpP:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝3.析取（或）qp或qp111010101100pqqpp:x2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.4.蕴涵（如果···，则···）.qp，则如果qp110010101011pqqpP:a和b都是偶数，Q:a+b也是偶数。当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与原来的命题矛盾。5.等价（当且仅当）qp当且仅当qp100110101100pqqp)24/8()522()35()62()2054()835(：判断下列等值式的真假复合命题的值求复合命题的值，可先穷尽地列出p、q取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。联结词的强弱顺序：,,,,减弱pqqqp111110000111010110101100qppqp的真值表如下：和命题pqpqp恒真命题111100001010101011001100pqrqprqrp)()(rqqp)()()(rprqqp用真值表验证)()()(rprqqp是恒真命题1011101111110101111110011011000111111111逻辑等价如果两个复合命题A、B的真值表相同，我们就称A、B逻辑等价。记为“”BA0111100001110101001110101100pqpqqpqp)(qp结果相同可以验证下列逻辑等价式：幂等律pppppppqqppqqp)()()()(rqprqprqprqp)()()()()()(rpqprqprpqprqpqpqpqpqp)()(ppqpqp双重否定律交换律结合律分配律德·摩根律pqpppqpp)()(ffpttppfpptp;;fpptpp余补律同一律吸收律假言命题的四种形式及其之间的关系qppqqppq原命题逆命题否命题逆否命题互逆互逆互否互否逆否（等价）例子：1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形等积。逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角形全等。否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。真假假真2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分。逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。真真真真3.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。假假假假它们之间的关系可以用真值表来证明：10111101110110110101001110101100pqpqqppqqppq结果相同偏逆命题及其否命题把原命题中数目相同的部分前提和结论互换后得到的命题称为原命题的偏逆命题。例如原命题：如果a和b都是偶数，则a+b也是偶数。真真(a是偶数)∧(b是偶数)→(a+b是偶数)偏逆1：(a是偶数)∧(a+b是偶数)→(b是偶数)偏逆2：(a+b是偶数)∧(b是偶数)→(a是偶数)请大家作出下面这个命题的偏逆命题：如果四边形ABCD是平行四边形，则它的对边相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)充分条件和必要条件如果命题“p→q”为真，那么，p就称为使q成立的充分条件，q就称为使p成立的必要条件。充分而非必要条件：p→q真但q→p假.必要而非充分条件：p→q假但q→p真.充分必要条件：p→q和q→p均真，简称充要条件.公理和定理公理：作为证明其他一切命题的基础，而不加证明就承认其真实性的一组命题。公理化方法：从尽可能少的原始概念和公理出发，应用形式逻辑的演绎推理，建立数学各分支理论体系的一种方法。如：欧氏几何公理体系公理的选取必须满足：相容性、独立性、完备性定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的逆定理。判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个“小定理”。推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。证明题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理论证的练习。分断式命题和配套定理在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠C＞∠B；如果AB＝AC，那么∠C＝∠B；如果AB＜AC，那么∠C＜∠B.象上例，一个命题是由几个命题总合而成，而它们的条件和结论有相同的特点：所含事项互不相容，又包括了一切可能的情形，则把这样的命题称为“分断式命题”.分命题学生学习数学命题的心理分析对公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命题孤立地学习定理、公式公理、定理、公式的教法探讨公理的教法采用学生熟知的具体事例或生活经验出发定理、公式的引入方法(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，做出猜想（2）通过推理直接发现结论（3）通过命题间的关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）注意问题使学生明确公理的意义由学生探索定理、公式等先发现、猜想，后教师归纳和逻辑证明注意命题间的关系，渗透必要的逻辑知识